bestimmen sie n Element N....

11.11.2004, 18:33	Annabelle	Auf diesen Beitrag antworten »
bestimmen sie n Element N.... Hallo! vielleicht kann mir jemand hierbei helfen... weil ich nicht weiß, wie ich rangehen soll und mit all meinen ansätzen gescheitert bin. Bestimmen Sie n0 Element N, so dass für alle n Element N mit n>=n0 gilt: (n/3)hoch n <= n! <= (n/2)hoch n (<= soll kleiner-gleich heißen)
11.11.2004, 18:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Google doch einmal unter Stirlingsche Formel oder so ähnlich. Durch Probieren habe ich übrigens $\begin{eqnarray} n_0 = 6 \end{eqnarray}$ gefunden.
11.11.2004, 21:46	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stelle hier nur eine Idee vor, keine Ahnung ob sie richtig ist. Wir betrachten die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^n}\cdot n^n \leq n! \leq \frac{1}{2^n}\cdot n^n \end{eqnarray}$ nun wird umgeformt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot n \leq \sqrt[n]{n!} \leq \frac{1}{3}\cdot n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2n \leq 6 \cdot \sqrt[n]{n!} \leq 3n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq 6 \cdot \sqrt[n]{n!} - 2n \leq n \end{eqnarray}$ Nun zeigen wir zunächst $\begin{eqnarray} 0 \leq 6 \cdot \sqrt[n]{n!} - 2n \end{eqnarray}$ wir definieren f $\begin{eqnarray} f(x) = 6 \cdot \sqrt[x]{x!} - 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4 > 0 \end{eqnarray}$ und leiten ab: ( $\begin{eqnarray} \gamma(x) \end{eqnarray}$ bezeichne die Gammafunktion) $\begin{eqnarray} f'(x) = 6 \cdot \sqrt[x]{x} \cdot (\frac{ln(\gamma(x+1)}{x}-\frac{ln(x!)}{x^2}) -2 \end{eqnarray}$ es gilt für ganzzahlige x > 0 $\begin{eqnarray} \gamma(x) = (x-1)! \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f'(x) = 6 \cdot \sqrt[x]{x} \cdot (\frac{ln(x!)}{x}-\frac{ln(x!)}{x^2}) - 2 \end{eqnarray}$ wenn man nun zeigt, dass f'(x) > 0 für alle positive ganzzahlige Zahlen x ab einem bestimmten x0, dann hat man den einen Teil der Ungleichung bewiesen. Bei dem zweiten Teil könnte man dann analog vorgehe. Oder steckt hier irgendwo ein Fehler?

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