Geraden in der Ebene

06.04.2007, 11:32

Musti

Geraden in der Ebene

Hallo,

Gegeben sind die Punkte $\begin{eqnarray*} A(-1/-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(3/-4) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x_1- \end{eqnarray*}$ Achse so, dass das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} 12,5 \end{eqnarray*}$ hat.

Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.

Also um die Grundseite zu bekommen brauche ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{AB}= \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nun rechne ich den Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} M(1/-2,5) \end{eqnarray*}$ .
Die Höhe bekomme ich durch den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{MC}= \begin{pmatrix} 1-x_1 \\ -2,5-x_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Der Flächeninhalt lässt sich jetzt so berechnen.

$\begin{eqnarray*} A=\frac{g\cdot h}{2}= \frac{\mid \vec{AB} \mid \cdot \mid \vec{MC} \mid }{2}= \frac{\sqrt{4^2+3^2}\cdot \sqrt{(1-x_1)^2+(-2,5-x_2)^2} }{2}=12,5 \end{eqnarray*}$

Anscheinend ist das bis hierhin schon falsch, denn der Flächeninhalt von 12,5 hängt auch von der $\begin{eqnarray*} x_2- \end{eqnarray*}$ Achse ab.

Wie muss ich die Aufgabe angehen bzw. was habe ich falsch gemacht?

Danke

06.04.2007, 12:20

derkoch

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Geradengleichung durch B aufstellen und mit der x-Achse schneiden....usw
Ich habe C(6/0) mit $\begin{eqnarray*} \lambda=1\qquad\mu=6 \end{eqnarray*}$

06.04.2007, 12:30

Musti

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Also ich soll ne Geradengleichung durch den Punkt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aufstellen?
Durch welchen Punkt soll die Geradengleichung noch gehen, denn durch einen Punkt reicht doch nicht oder?

Aber mir fällt grad ein, dass wenn man die Gerade mit der $\begin{eqnarray*} x_1- \end{eqnarray*}$ Achse schneiden soll der $\begin{eqnarray*} x_2- \end{eqnarray*}$ Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das heißt ich könnte in meine Flächeninhaltsformel für $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen oder?

06.04.2007, 13:01

riwe

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da aus AB folgt, dass $\begin{eqnarray*} h = 5 \end{eqnarray*}$ , würde ich 2 zur geraden durch AB parallele gerade mit der HNF erstellen und mit der x-achse schneiden.

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+4y+7}{5}=\pm 5 \end{eqnarray*}$
das ergibt
$\begin{eqnarray*} C_1(6/0)\quad{ } C_2(-\frac{32}{3}/0) \end{eqnarray*}$

werner

ps. ich vermute, die idee von koch funktioniert nur deshalb, weil das dreieck mit dem punkt $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ zufällig ein rechtes ist. verwirrt

06.04.2007, 13:19

riwe

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alternative, du verläßt die ebene und benutzt das vektorprodukt

$\begin{eqnarray*} 2A=\mid\begin{pmatrix} 4 \\-3 \\ 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}x+1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\mid \to 7+3x=\pm 25\to C_1(6/0)\quad{ }C_2(-\frac{32}{3}/0) \end{eqnarray*}$
werner

06.04.2007, 13:22

Musti

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Aber was ist denn mit meiner Flächeninhaltsformel?

Die scheint dann ja falsch zu sein.

Also ich hab x_2=0 gesetzt da die Punkte auf der x_1-Achse liegen müssen.
Ich bekomme die Werte $\begin{eqnarray*} x_{1}=5,33 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=-3,33 \end{eqnarray*}$ raus. Der Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} (x_1/0) \end{eqnarray*}$ .

@Werner: Irgendwie verstehe ich deinen 1ten Weg nicht traurig

Zum 2ten Weg: Wir hatten das Kreuzprodukt noch nicht.

06.04.2007, 13:49

riwe

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was verstehst du daran nicht verwirrt

die höhe h = 5, daher muß der gesuchte punkt C auf einer parallelen zur geraden durch A und B gehen, die von dieser den abstand 5 hat.
diese bekomme ich wie hingemalt mit der HNF.
da C die y-koordinate y = 0 hat, hast du

$\begin{eqnarray*} 3x+7=5\cdot 5\to x_{C_1}=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x+7=- 5\cdot 5\to x_{C_2} \end{eqnarray*}$

deine formel ist falsch, weil die höhe NICHT durch den mittelpunkt der seite c= AB geht, da das dreieck nicht gleichschenkelig ist, siehe meinen kommentar zu der rechnung von koch.

du kannst noch folgneden weg gehen

$\begin{eqnarray*} \vec{h} =\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}\to 4h_1-3h_2=0\quad{ } h²_1+h²_2=25 \end{eqnarray*}$

das ergibt die höhenvektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{h}_1 =\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\quad{ }\vec{h}_2 =\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit h1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\-1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c \\ 0 \end{pmatrix} \to t=1\to C_1(6/0) \end{eqnarray*}$

aber ob das das gelbe vom ei ist verwirrt

werner

06.04.2007, 14:54

Musti

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Endlich

ich habe es verstanden. Bekomme nun die gleichen Ergebnisse raus.

Nun teilaufgabe b)

Bestimmen sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x_2- \end{eqnarray*}$ Achse, die von den Geraden
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 8 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den gleichen Abstand haben.

Ich bin die Aufgabe so angegangen:

$\begin{eqnarray*} d(P,g)=\frac{4x_1-3x_2+18}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(P,h)= \frac{8x_1-15x_2+18}{17} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(P,h)=d(P,g) \end{eqnarray*}$ da bekomme $\begin{eqnarray*} \frac{4x_1-3x_2+18}{5}=\frac{8x_1-15x_2+18}{17} \end{eqnarray*}$
Nun setze ich $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und bekomme für $\begin{eqnarray*} x_2=-9 \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig?

06.04.2007, 15:21

riwe

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nur der 2. wert fehlt,
du mußt das + und - setzen.

ein anderer vektorieller weg ginge über die winkelsymmetralen,
mit dem schnittpunkt der beiden geraden S(-6/-2):

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -6\\ -2 \end{pmatrix} +t(\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \pm\frac{1}{17}\begin{pmatrix} 15 \\ 8 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

werner

06.04.2007, 15:31

riwe

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@musti,
zu deiner pn.
ich schicke dir eine gezipte geodatei "ebene und würfel" (oder umgekehrt). ziehe an den beiden reglern, da kannst du das zeug drehen und die größe ändern.
wenn du den punkt P mit der rechten maustaste anklikkst und anschließend "koordinaten zeigen", siehst du, wie ich das (einfach) umgerechnet habe.
ich stelle es hier rein, vielleicht will es auch wer außer dir sehen.
werner

06.04.2007, 15:37

Musti

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Ich danke dir Werner! Gott

06.04.2007, 15:45

Musti

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Der zweite Punkt liegt dann wohl bei $\begin{eqnarray*} P(21/0) \end{eqnarray*}$

06.04.2007, 16:00

riwe

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Zitat:

Original von Musti
Der zweite Punkt liegt dann wohl bei $\begin{eqnarray*} P(21/0) \end{eqnarray*}$

wenn wir noch bei der 2. teilaufgabe sind:
da ist doch x = 0 verwirrt

ich habe $\begin{eqnarray*} P(0/\frac{22}{7}) \end{eqnarray*}$

werner

06.04.2007, 16:22

Musti

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Oh mann, du hast natürlich recht.

Komischer Fehler Augenzwinkern

Danke

06.04.2007, 18:32

derkoch

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Zitat:

Original von wernerrin

ps. ich vermute, die idee von koch funktioniert nur deshalb, weil das dreieck mit dem punkt $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ zufällig ein rechtes ist. verwirrt

Da hast du recht werner. Ich bin sogar mit der Annahme an die Aufgabe ran gegangen, daß es ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, was man bei sowas natürlich nicht voraus setzen darf.

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