Berechnung von disjunkten Zyklen und Beweis einer Gruppe

12.11.2004, 00:13	Camael	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung von disjunkten Zyklen und Beweis einer Gruppe Hallo, bin im Moment dabei ein Übungsblatt zum Thema Lineare-Algebra zu lösen, dabei bin ich auf folgende Probleme gestoßen. Eine Aufgabe lautet: "Berechnen Sie die Zerlegung in disjunkte Zyklen für die folgenden Permutationen: a) $\begin{eqnarray} ((1237)(568))^{22} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} (12)(4563)(34)(563) \end{eqnarray}$ " ... wie disjunkte Zyklen ansich gebildet werden ist mir klar, allerdings sind die Permutationen etwas sonderbar aufgeschrieben. Zuerst dachte ich, sie wären bereits in Form von Zyklen geschrieben, was aber anscheinend nicht so ist. Mehr gibt die Aufgabenstellung nicht her. Weiss jemand, wie ich diese Permutationen lesen muss? Ein zweites Problem ist der Beweis einer Gruppe. Die Aufgabenstellung lautet: Für reelle Zahlen $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ definieren wir die Abbildung: $\begin{eqnarray} f_{\alpha,\beta}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f_{\alpha,\beta}(x) = \alpha x + \beta, x \in \mathbb{R}. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} G = \{f_{\alpha, \beta} \mid \alpha \in \mathbb{R}^{\ast}, \beta \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\mathbb{R}^{\ast} := \mathbb{R} \backslash \{0\}) \end{eqnarray}$ bzgl. der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe bildet. Um Nachzuweisen, dass es sich um eine Gruppe handelt muss ich die Gruppenaxiome einzeln beweisen, allerdings ist mir nicht ganz klar, wie idas mit "bzgl. der Hintereinanderschaltung" gemeint ist. Irgendeine Idee? Danke im Voraus
12.11.2004, 00:26	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Permutationen sind in Form von Zykeln aufgeschrieben. Im ersten Fall werden sie potenziert (d.h. mehrfach hintereinander ausgeführt), im zweiten Fall sind die Zykeln nicht disjunkt. a) Lässt sich lösen, indem man die Ordnung der Permutation ausrechnet und so den Exponenten reduziert. Bei b) ist man mit einer Tabelle ganz schnell fertig. Mit "Hintereinanderschalten" ist die Abbildungsverknüpfung $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ gemeint. Seien $\begin{eqnarray} f, g, h \end{eqnarray}$ Funktionen, dann ist $\begin{eqnarray} (f \circ g)(x) = f(g(x)) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \end{eqnarray}$
12.11.2004, 04:15	Camael	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Hilfe soweit. Was die Hintereinanderschaltung angeht, dachte ich mir das schon fast. Wie berechne ich aber die Ordnung von Permutationen? Das sagt mir im Moment gar nichts. Und welche Tabelle meinst du? Kannst du mal eine ungefähre Rechenvorschrift (nicht die Lösung) geben? Danke schonmal
12.11.2004, 12:48	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ordnung einer Permutatuion $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , für die gilt: $\begin{eqnarray} \sigma^n = \text{id} \end{eqnarray}$ Du musst die in diesem Fall nur die Zykeln angucken und überlegen, nach wievielen Hintereinanderausführungen sie wieder beim Ursprungszykel angekommen sind. Die Ordnung lässt sich bei disjunkten Zykeln schon am Zykeltyp (also an der Länge des Zykels) ablesen. Bei b) meinte ich, du machst dir eine Abbildungstabelle: 1 -> ? 2 -> ? 3 -> ? ... 6 -> ? Aus dieser Abbildungstabelle kann man sauschnell disjunkte Zykeln basteln.
12.11.2004, 23:12	Camael	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, a) klingt sinnig, allerdings ist mir b) noch immer nicht ganz klar. wenn ich mir eine tabelle aufbaue, komme ich auf: (12)(4563)(34)(563) 1 -> 2 2 -> 1 4 -> 5 5 -> 6 6 -> 3 3 -> 4 3 -> 4 4 -> 3 5 -> 6 6 -> 3 3 -> 5 ... damit habe ich einmal 3 -> 4, aber auch 3 -> 5, genauso 4 -> 5, aber auch 4 -> 3. spontan klingt das für mich nach einem widerspruch .... MfG
12.11.2004, 23:50	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch nicht richtig, so wie du das gemacht hast. Z.B. können der 4 ja keine 2 verschiedenen Elemente zugeordnet sein, denn es handelt sich ja um eine Abbildung. Betrachten wir also einmal die Permutation $\begin{eqnarray} (12)(4563)(34)(563) \end{eqnarray}$ Sie ist von rechts nach links zu lesen. 1 -> 2 (klar) 2 -> 1 (auch eindeutig) 3: Vom rechten Zykel (5 6 3) wird die 3 zuerst auf 5 abgebildet. 5 wird dann vom Zykel (4 5 6 3) auf 6 permutiert und bleibt schließlich bei der 6. Also: 3 -> 6 und so gehst du weiter durch.
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13.11.2004, 03:08	Camael	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, alles klar. Hier die Lösung für spätere Leser (ich hoffe zumindest, dass die richtig ist): a) $\begin{eqnarray} \pi = ((1237)(586))^{22} \end{eqnarray}$ Die Ordnung der Permutation entspricht in diesem Fall dem kleinsten gemeinsame Teiler der Ordnungen der Einzelzyklen. Bei einfachen Zyklen ist die Ordnung die Länge. d.h. $\begin{eqnarray} O_1 = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O_2 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} kgT(4, 3) = 12 \end{eqnarray}$ Das heisst, dass gilt $\begin{eqnarray} ((1237)(586))^{12} = id \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} ((1237)(586))^{24} = id \end{eqnarray}$ Der Ausdruck oben kann dann also so geschrieben werden $\begin{eqnarray} ((1237)(586))^{22} = ((1237)(586))^{24} ((1237)(586))^{-2} \end{eqnarray}$ das hoch -2 bedeutet also, dass 2x die Inverse der Matrix hintereinandergeschaltet wird, also $\begin{eqnarray} \pi = (685)(7321) (685)(7321) \end{eqnarray}$ das ist letztendlich $\begin{eqnarray} (37148526) \end{eqnarray}$ . In Zyklenschreibweise ist das dann: $\begin{eqnarray} (13)(27)(586) \end{eqnarray*}$ Besten Dank für die Hilfe.

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