Isomorphismus

Neue Frage »

12.11.2004, 00:52	need help	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus kann jemand helfen? Wie kann ich zeigen: a: das f: Z/nZ -><x>, f(r)=x^r ein Isomorphismus ist, wenn ord(x)=n (natürliche Zahl) endlich ist? und b: das f:Z -> <x>,f(n)= x^n ein Isomorphismus ist, wenn die Ordnung vo x unendlich ist?
12.11.2004, 00:57	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) 1.) Wie sieht die Menge <x> aus, wenn Ord(x) = n gilt? Schreib mal auf! 2.) Welche Elemente findet man in Z/nZ ? Was lässt sich über die Mächtigkeit dieser beiden Mengen sagen? Was lässt sich über die Existenz einer Bijektion zwischen zwei gleichmächtigen, endlichen Mengen sagen? (b) Wie säh hier ein Beweis durch Widerspruch aus? Kann es einen Isomorphismus geben, wenn Ord(x) endlich ist? Was ist mit <x>, wenn Ord(x) endlich ist?
12.11.2004, 01:04	nicht Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
a) 1.) Wie sieht die Menge <x> aus, wenn Ord(x) = n gilt? Schreib mal auf! 2.) Welche Elemente findet man in Z/nZ ? Was muss man zeigen, damit f ein Homomorphismus ist? (b) Welche Elemente hat <x> wenn ord(x) unendlich ist? Welchen Zusammenhang siehst du zu Z? @Tobias: Was hat die Existenz von Bijektionen damit zu tun, ob eine bestimmte vorgegebene Abbildung bijektiv ist? Warum überlegst du bei b) die Situation, dass ord(x) endlich wäre?
12.11.2004, 01:14	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zwei endliche gelichmächtige Mengen hast, dann existiert auf jeden Fall eine bijektive Abbildung. Man muss sogar nur noch Surjektivität oder Injektivität zeigen (nicht beides). Darauf wollte ich hinaus. Bei (b) wollte ich sagen, dass man evt. einen Beweis durch Widerspruch erstellen kann. Man verneine die Behauptung und zeige, dass dann die Annahme nicht stimmen kann. Eine verneinte Behauptung ist hier eben Ord(x) endlich. Du musst jetzt zeigen, dass unter diesen Umständen die Abbildung kein Isomorphismus ist.
12.11.2004, 01:21	na ich	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias, Bei b) ist zu zeigen: WENN ord(x)=oo, DANN ist f ein Iso. D.h. ord(x)=oo ist die Voraussetzung, nicht die Behauptung.
12.11.2004, 01:37	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups stimmt. Dass führe eben f kein Isomorphismus => Ord(x) = ue. zu einem Widerspruch. Edit: Hab kein Bock mehr auf pädagogisch wertvolles "blabla": Sei f nicht injektiv. Es existieren $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} f(a) = f(b) \Rightarrow x^a = x^b \Rightarrow x^{a-b} = 1 \end{eqnarray}$ . f ist immer surjektiv, denn wäre f nicht surjektiv, so existiert ein $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(a) \neq f(z) \end{eqnarray}$ . Per Definition ist aber $\begin{eqnarray} x^a \in <x> \end{eqnarray}$ .
Anzeige

12.11.2004, 01:47	Nachfrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das Ernst? Überleg dir mal, was du dafür zeigen müsstest: Angenommen, f wäre kein Homomorphismus oder nicht injektiv *oder nicht surjektiv. Damit muss man zeigen, dass ord(x) nicht unendlich sein kann. Das geht, ja. Aber genauso (=auf demselben Weg) funktioniert der direkte Beweis.
12.11.2004, 01:49	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagmal kann es sein, dass du garkeine Hilfe brauchst?
12.11.2004, 14:21	na ich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich brauch bei dieser Frage keine Hilfe, aber vermutlich der Fragesteller, denn sonst hätte er sie ja nicht gestellt.

Neue Frage »

Antworten »

Isomorphismus

Verwandte Themen