Konvergenz

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Taucher Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
hi Leute,
ich bräuchte eure Hilfe bei folgendem Bsp:

Für welche {a_n} ist die Folge {1+(-1)^n*a_n} konvergent.

Jetzt ist mir klar, dass {1+(-1)^n*a_n}, wenn (-1)^n und a_n immer, oder ab einem bestimmten n das gleiche Vorzeichen haben, das heißt a_n sozusagen die Schwingung ausgleicht oder aufhebt.

Das wäre zum Bsp: a_n=(-1)^n wobei das dann eine konstante Funktion wäre, sowie aber auch alle andern Möglichkeiten:
a_n=(r)^n mit r aus den negativen reellen Zahlen sein muss und n aus den natürlichen Zahlen.

Das ist ja ziemlich logisch, aber kann ich das auch irgendwie beweisen oder zeigen, zum Beispiel mit dem Cauchy-Kriterium oder so? Das scheint mir irgendwie so schwammig oder ist das eurer Meinung nach wirklich schon genug?

Danke und schönen Tag noch.
Der Taucher.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
erstmal geht es hier um eine Folge, nicht um eine Funktion,
zweitens könnte man auch mal untersuchen, was passiert wenn a_n gegen 0 (Null) geht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz is schonmal gut, nur sind das nicht alle Folgen, dür die das gilt.
Du hast schon richtig gesagt, dass sich ja irgendwie da die Vorzeichen "aufheben" könnten. Was du eigentlich brauchst, ist aber, dass die Folge nicht alternierend bezüglich 1 ist, dass sie also entweder "fast immer" <1 oder "fast immer" >1 ist.
"fast immer" bedeutet ab einem bestimmten Index. Jetzt musst du dir überlegen, was dann für a_n gelten muss.
Es gibt noch einen zweiten, viel einfacheren Fall! Versuch doch mal es so hinzubekommen, dass deine Folge gegen 1 konvergiert! Was muss dann nur für a_n gelten?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Hallo Taucher,

deine Ausführungen tönen für mich etwas wirr. ZB. ist die Folge (-1)^n, n element |N nicht konstant, sondern -1,+1,-1,+1,....

Aber nun zu deiner Aufgabe: Schau dir doch noch einmal das CAUCHY-Kriterium an! Eine Folge (b_n) ist genau dann konvergent, wenn es zu JEDEM epsilon > 0 ein n0 element |N gibt, mit der Eigenschaft

| b_n - b_m | < epsilon für alle n,m >= n0

Welche Eigenschaft muss nun dein a_n für wachsendes n haben, damit diese Bedingung erfüllt ist?

mfg Heinz
Taucher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi...
also ich versuche jetzt eure antworten zu verarbeiten und zu verstehen...

Die Folge ist also konvergent, wenn die Folge entweder immer >1 oder immer >1 ist??

Das heißt also die Folge konvergiert auch zum Beisiel für:
a_n=1/n
denn: {1+(-1)^n*a_n}={1+(-1)^n*(1/n)

dann würde für gerades n die Folge von rechts und für ungerades n die Folge von links gegen eins konvergieren...das heißt in dem Intervall [1-eps;1+eps] würden dann fast alle Folgenglieder liegen, meinst du das so? Und wie kann ich dann alle a_n finden?? Alle a_n die entweder in [0,1] oder in [-1,0] liegen? Aber das stimmt doch nicht, oder?

2. Cauchykriterium:






Gut und wie gehtt das jetzt weiter? der Ausdruck im Absolutbetrag muss also gegen n0 gehen, das heißt, wenn ich m als n+k schreibe und heraushebe komme ich auf:



(-1)^n kann nicht beliebig klein werden, weil es immer zwischen -1 und 1 hin und her springt, also muss *(a_n+(-1)^k*a_(n+k) bleliebig klein werden.
Aber hier komme ich dann schon nicht mehr weiter, wie kann ich das vernünftig auflösen, dass ich dann zu einem Ergebnis komme?

Ich hoffe ihr habt noch etwas Geduld mit mir...danke vom Taucher.

edit: latex-Codes verbessert, latex verträgt keine Zeilenumbrüche! Augenzwinkern (MSS)
gast Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. Nein, du kannst auch die Folge 2, 4,2,4,2,4,2,4 etc. betrachten, bei der alle Folgenglieder größer als 1 sind, aber offensichtlich nicht konvergiert!
Was meinst Du eigentlich mit "entweder immer >1 oder immer >1"? Das ist doch beidesmal dasselbe.
zu 2. Vergiss bei Deinem Ansatz über das Cauchy-Kriterium erst mal das Epsilon und rechne einfach mal den Betrag, mit dem Du startest weiter aus. Du hast übrigens eine Klammer falsch aufgelöst.

Außerdem denkt Ihr zu kompliziert:
Für alle Nullfolgen (a_n)_n konvergiert (1+((-1)^n)* a_n) gegen 1.
Für alle konvergenten Folgen mit Grenzwert a<1, divergiert die zu betrachtende Folge, da dann die Teilfolge der Folgenglieder mit ungeradem n gegen 1-a und die Teilfolge der Folgenglieder mit geraden n gegen n gegen 1+a konvergiert. Damit kann die zu betrachtende Folge nicht konvergieren, da bei einer konvergente Folge immer alle konvergenten Teilfolgen gegen den Grenzwert der gesamten Folge konvergieren.
Hier siehst Du also insbesondere, dass Du nur dann Konvergenz für die gesamte Folge erhalten kannst, wenn die Teilfolge der "geraden" Folgenglieder und die Teilfolge der geraden Folgenglieder gegen denselben Grenzwert konvergieren. Dies ist eine notwendige Bedingung.
Wann ist das der Fall? Dies solltest Du Dir überlegen.
Insbesondere solltest Du dabei finden, dass es auch Folgen a_n gibt, die selbst divergieren, für die aber die zu betrachtende Folge (1+((-1)^n)* a_n) konvergiert. fröhlich
 
 
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Du hast Recht, damit, dass
a_n+(-1)^k*a_(n+k)
beliebig klein werden muss, d.h.
a_n+(-1)^k*a_(n+k) < eps
auflösen ergibt:
a_n < (-1)^k*a_(n+k) * eps
Für a_n > 0 ergibt sich k=gerade und für a_n < 0 ergibt sich k=ungerade, also allgemein:
für a_n > 0 --> a_n gerade und für a_n < 0 --> a_n ungerade

Das müsste stimmen und alle Lösungen enthalten.
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