Archimedische Spirale

06.04.2007, 13:51

QuirB

Archimedische Spirale

Hi,

ich bin leider durch meine letzte Klausur in Analysis&Geomatrie gefallen und hab nun eine frage zu ner Aufgabe.

Wir hatten die Archimedische Spirale folgend gegeben:

$\begin{eqnarray*} c(t) = t(cos(t),sin(t)) \end{eqnarray*}$

Nun sollten wir den Flächeninhalt der von dem Graphen für $\begin{eqnarray*} t\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ und der Strecke von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (0,2\pi ) \end{eqnarray*}$ eingeschlossen wird berechnen.

In der zweiten Teilaufgabe sollte die Länge von der Kurve für $\begin{eqnarray*} t\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Wäre toll wenn ihr mit nen Lösungsweg geben könntet, da bald die Nachklausur ist und ich es immer noch nicht geschafft habe diese Aufgabe zu lösen.

Schöne Grüße QuirB

06.04.2007, 16:41

Abakus

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RE: Archimedische Spirale
Willkommen im Forum, QuirB Wink

Zitat:

Original von QuirB
Nun sollten wir den Flächeninhalt der von dem Graphen für $\begin{eqnarray*} t\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ und der Strecke von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (0,2\pi ) \end{eqnarray*}$ eingeschlossen wird berechnen.

Meinst du vielleicht als Begrenzung die Strecke von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (2\pi, 0) \end{eqnarray*}$ ? (mach mal eine Skizze)

Welche Formeln kennst du für derartige Flächenberechnungen bzw. wie lautet dein bisheriger Ansatz ? (siehe bitte zunächst auch Forumprinzip für die Arbeitsweise hier)

Grüße Abakus smile

07.04.2007, 01:15

QuirB

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Natürlich hast du recht mit der Strecke. es ist die Stecke von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (2\pi ,0) \end{eqnarray*}$ gemeint.

Beim Ansatz liegt leider genau mein Problem da ich keine "passende" Formel finde. Hab im Skript gesucht und für Flächeninhalt nur folgende gefunden:

http://img263.imageshack.us/img263/6909/area1tx3.jpg

http://img407.imageshack.us/img407/14/area2ct8.jpg

http://img340.imageshack.us/img340/1489/area3tq8.jpg

Hatte es mit der ersten irgendwie versucht zu berechnen, aber hab auch immer nicht gewusst, was ich für Grenzen nehmen sollte.

Skizze kann ich leider nicht anhängen weil ich nicht weis wie ich das plotten soll. Ist aber halt die erste "Umdrehung" der Spirale und das "Ende" mit dem "Anfang" verbunden.

Bitte verzeiht, das ich fachsprachlich nicht so gut drauf bin. Bin ja nurn Informatiker.

edit:

Hab n bissel mit Polarkoordinaten probiert und hab jetzt das hier gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{t}~r~drdt=\int \limits_{0}^{2\pi}~\frac{1}{2}~t^2~dt=\left[\frac{1}{6}~t^3\right]_{0}^{2\pi}=\frac{4}{3}~\pi^3 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

07.04.2007, 17:11

Abakus

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Zitat:

Original von QuirB
Hab n bissel mit Polarkoordinaten probiert und hab jetzt das hier gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{t}~r~drdt=\int \limits_{0}^{2\pi}~\frac{1}{2}~t^2~dt=\left[\frac{1}{6}~t^3\right]_{0}^{2\pi}=\frac{4}{3}~\pi^3 \end{eqnarray*}$

Die Idee gefällt mir schon gut. Fraglich sind allerdings die Integrationsgrenzen und die Integrationsvariablen.

Du hast folgende einfache Darstellung:

$\begin{eqnarray*} r(\varphi) = \varphi \end{eqnarray*}$

Demnach kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} F = \int \limits_{0}^{2\pi} ~r(\varphi)~d\varphi \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

09.04.2007, 13:04

QuirB

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Demnach ist der Flächeninhalt:

$\begin{eqnarray*} F = \int \limits_{0}^{2\pi} ~r(\varphi)~ d\varphi= \int \limits_{0}^{2\pi} ~\varphi~d\varphi= \left[\frac{1}{2} ~\varphi^2 \right]_{0}^{2\pi}= 2\pi^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Haben leider nicht soviel mit Polarkoordinaten gemacht und im Skript steht zu Polarkoordinaten nichts.

Kann man mit der Formel

$\begin{eqnarray*} F = \int \limits_{0}^{2\pi} ~r(\varphi)~ d\varphi \end{eqnarray*}$

generell Flächenstücke berechnen wenn man Polarkoordinaten hat?

09.04.2007, 22:21

Abakus

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Ja, korrekt. Zur Berechnung von Flächen solltest du dir die verschiedenen Integrale und wie dort die Integrationsgrenzen bestimmt werden, einmal näher anschauen.

Die obige Formel ist sehr speziell natürlich und eignet sich nur für bestimmte Flächen.

Grüße Abakus smile

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