Aufgabe zur Charakteristik

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06.04.2007, 14:19	Pejosh2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Charakteristik Hallo, auf meinem Übungszettel findet sich eine Aufgabe zur Charakteristik eines Körpers. Aufgabe: Gibt es für einen Körper K eine Zahl n größer gleich 2 mit 1+1+...+1=0 (n Summanden), so heißt die kleinste solche Zahl die Charakteristik von K und wird mit char(K) bezeichnet. Gibt es keine solche Zahl n, so sagen wir, K sei ein Körper der Charakteristik null und schreiben char(K)=0. Sei K ein Körper mit char(K) ungleich 2 und sei A aus Mat2(K) mit A^2=I2. Beweisen Sie, dass entweder A aus {I2 , -I2} gilt oder es gibt ein T aus GL2(K) mit A=T * (1 0) * T^-1 ! (0 -1) (Irgendwie ist die Matrix verschoben...sorry...hoffe...man erkennt es trotzdem...) Also...ich hab mir jetzt stundenlang den Kopf darüber zerbrochen...komme aber zu keinem Ergebnis...noch nicht mal ein Ansatz...da war Charakteristik nicht in der Vorlesung hatten, verstehe ich nicht, was die damit zu tun hat...abgesehen davon ist das ja schon wieder so abgehoben für mich...dass ich mich Frage...ob das nur für die Modulo-Körper gilt...also...die F-Körper... Kann mir jemand einen Anschubs geben?
06.04.2007, 14:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist I2?? Die Einheitsmatrix?
06.04.2007, 14:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zur Charakteristik Zunächst einmal ist die die Definition der Charakteristik eines Körpers doch in der Aufgabe gegeben. Damit musst du eben arbeiten. Gibt es für einen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ eine Zahl n größer gleich 2 mit 1+1+...+1=0 (n Summanden), so heißt die kleinste solche Zahl die Charakteristik von $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ und wird mit $\begin{eqnarray} char(\mathbb K) \end{eqnarray}$ bezeichnet. Gibt es keine solche Zahl n, so sagen wir, $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ sei ein Körper der Charakteristik null und schreiben $\begin{eqnarray} char(\mathbb K) = 0 \end{eqnarray}$ . Versuch doch nun mal einfache Beispiele für diese zu finden. Wie sieht es mit folgenden Körpern aus? $\begin{eqnarray} \mathbb P_2,~\mathbb R \end{eqnarray}$ Nun zum Verständnis deiner Aufgabe wäre es schön gewesen, wenn du sie mit dem Formeleditor geschrieben hättest oder wenigstens deine "Variablen" erklärt hättest. So nehme ich nun an, dass es sich bei I2 um die 2x2 Einheitsmatrix handelt?
06.04.2007, 14:39	Pejosh2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, bei uns heißt die I...aber viele sagen auch E...
06.04.2007, 14:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe (mit Latex) Sei $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ ein Körper mit $\begin{eqnarray} char(\mathbb K) \neq 2 \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} A \in Mat_2(\mathbb K) \text{ mit } A^2=I_2 \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass entweder $\begin{eqnarray} A \in \{I_2, -I_2\}\text{ gilt oder} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists ~T \in GL_2(\mathbb K) \text{ mit } A=T\cdot \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix} \cdot T^{-1} \end{eqnarray}$
06.04.2007, 15:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeite doch die Fälle mal durch. zunächst einmal, versuch zu verstehen, dass die angegebenen Fälle der Bedingung genügen. Dann mußt Du noch zeigen, dass man damit alle Fälle erfasst hat (Klingt für mich nach einem Widerspruchsbeweis). $\begin{eqnarray} A=I_2 = \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2=(I_2)^2 =\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}^2 = I_2 \end{eqnarray}$ Also erfüllt dieses A die geforderte Bedingung. $\begin{eqnarray} A+...+A=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} + ...+\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+...+1&0+...+0 \\ 0+...+0&1+...+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Welche Charakteristiken sind möglich? $\begin{eqnarray} A=-I_2 = \begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2=(-I_2)^2 =\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}^2 = I_2 \end{eqnarray}$ Also erfüllt auch dieses A die geforderte Bedingung. $\begin{eqnarray} A+...+A=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} + ...+\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(-1)+...+(-1)&0+...+0 \\ 0+...+0&(-1)+...+(-1) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Welche Charakteristiken sind möglich?
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06.04.2007, 18:16	Pejosh2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Also...erstmal...vielen Dank für eure Antworten...zweitens...ich hab keine Ahnung von Latex...so etwas lernen wir nicht... Dann versuche ich mal ein wenig zu diskutieren...also...in R gibt es doch nur char(R)=0. Oder sehe ich das falsch? Und in P2...ich nehme an, dass das euer Modulo-Körper ist...da ist logischerweise n=2 also char(P2)=2. Jetzt zu dem von Tigerbine...welche Charakteristiken möglich sind?...meines Erachtens nach nur die Charakteristik char(K)=0. So...jetzt hab ich mal wieder überlegt...aber ich weiß nicht...wie ich das mit den ähnlichen Matrizen machen soll...ich meine...ich kann natürlich allgemein eine 2x2 Matrix aufstellen und zeigen, dass für A^2 nur die Einheitsmatrix rauskommt, wenn es eben eine Einheitsmatrix (ob positiv oder negativ) ist... Das einzige was ich noch über ähnliche Matrizen weiß, ist, dass zwei Matrizen genau dann ähnlich sind, wenn sie Darstellungsmatrizen des gleichen Endomorphismus bzw. zwei Basen C, D sind.
06.04.2007, 18:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal ein kurzes Intermezzo. Vielleicht ist diese Notation bekannter. $\begin{eqnarray} \mathbb F_p = \mathbb Z/p\mathbb Z,~\text {p prim} \end{eqnarray}$
06.04.2007, 18:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum soll nur die Charakteristik 0 möglich sein? Es gilt ja immer 0 + ... + 0 = 0 Und in einem Körper mit Primzahlcharakteristik gilt eben: p-mal: 1+ ... + 1 = 0 Damit bekommt man auch die Nullmatrix.
06.04.2007, 19:10	Pejosh2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben da scheint der Hase begraben zu sein...ich glaube, ich hab die Definition nicht so ganz verstanden...wie kann denn in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ 1+...+1=0 sein...??? Und danke...für die Modulo-Schreibweise... Ach stimmt...ich habe verpennt, dass die Matrizen ja auch über einem Körper sind... Ich versuche es wohl später nochmal...verstehe nämlich immer noch nicht, wie ich das mit den ähnlichen einbringen soll...

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