zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1

06.04.2007, 18:33

Pejosh2001

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zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1

Ich bin es nochmal...bin jetzt hoffentlich auch ein wenig schlauer und hoffe, dass es klappt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier die Aufgabe .

Ich habe mir dazu schon Gedanken gemacht und denke, dass ich der Lösung auf der Spur bin...also... nach dem Determinantenmultiplikationssatz müsste

$\begin{eqnarray*} det(f-\lambda idv) = det(A-\lambda I) * det(B-\lambda I) = det(AB-\lambda I) \end{eqnarray*}$

gelten. Und da die charakteristischen Polynome ja Determinanten sind, müsste das ja zulässig sein.

So, dann habe ich die Eigenwerte von dem charakteristischen Polynoms zu A*B berechnet und bekomme folgende Linearfaktorzerlegung:

$\begin{eqnarray*} det(AB-\lambda I) = (x-1)³*(x-0)*(x-(3+\sqrt{6}))*(x-(3-\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$

So...aber was ist nun der Kern? Meine Vermutung ist ja, dass der Kern die Dimension 1 hat, weil die Vielfachheit des Eigenwerts 0 1 ist. Aber stimmt das? Oder bin ich total auf dem Holzweg?

06.04.2007, 19:21

20_Cent

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RE: zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1

Zitat:

Original von Pejosh2001

$\begin{eqnarray*} det(f-\lambda idv) = det(A-\lambda I) * det(B-\lambda I) = det(AB-\lambda I) \end{eqnarray*}$

Was ist denn hier dein f?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I) cdot (B - \lambda I) \end{eqnarray*}$ rechne, bekomme ich nicht $\begin{eqnarray*} AB - \lambda I \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} AB - \lambda I (A + B) + \lambda^2 I \end{eqnarray*}$

mfG 20

06.04.2007, 19:43

tigerbine

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RE: zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1
Linearfaktorzerlegung der char. Polynome:

$\begin{eqnarray*} \chi_A(x)=-x^3+2x^2-x = -x(x^2-2x+1) = -x(x-1)^2 = -x(x-1)(x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \chi_B(x)=-x^3-7x^2-9x+3 \approx (x+5.1326)(x+2.1404)(x-0.2731) \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall hat B 3 paarweise verschiedene EW. Welche Matrizen können nun solche EW besitzen? Die einfachste Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} -5.1326&0&0\\0&2.1404&0\\0&0&0.2731\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gibt es für B noch andere (nicht ähnliche) Möglichkeiten? Ein blick in das Kapitel über Diagonalisierbarkeit von Matrizen (Endomorphismen) liefert die Antwort:

Nein.

$\begin{eqnarray*} Rang(B)=3, Defekt(B) = 0 \end{eqnarray*}$

Also hängt alles von A ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Es sollte B statt A heißen. Danke an den aufmerksamen Leser WF

06.04.2007, 19:51

Pejosh2001

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Mein f soll der zugehörige Endomorphismus sein...so haben wir es definiert...also...bei mir zerfällt das Polynom zu B in $\begin{eqnarray*} (x-1)(x-(3+\sqrt{6})(x-(3-\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$ ...

Warum ist denn der $\begin{eqnarray*} Rang(A)=3 \end{eqnarray*}$ ? Muss der Rang nicht sowieso gleich 3 sein, weil sie sonst nicht diagonalisierbar ist? ... unser Prof hat da so etwas erwähnt...von wegen...Dimension...

Und was ist der Defekt? Das hatten wir gar nicht...

06.04.2007, 19:55

WebFritzi

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RE: zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1

Zitat:

Original von Pejosh2001
nach dem Determinantenmultiplikationssatz müsste

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I) * det(B-\lambda I) = det(AB-\lambda I) \end{eqnarray*}$

gelten.

Nö. Nach dem DMS gilt

$\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda I) * det(B-\lambda I) = \det((A - \lambda I)(B - \lambda I)) = \det(AB - \lambda A - \lambda B + \lambda^2 I) \neq \det(AB - \lambda I). \end{eqnarray*}$

So kommste nicht weiter. Fragen:

1.) Ist 0 Eigenwert von A?
2.) Ist 0 Eigenwert von B?

06.04.2007, 19:56

tigerbine

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Defekt = Dimension des Kerns Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum muss der Rang 3 sein, sprich A regulär, um diagonalisierbar zu sein? verwirrt

verwirrt

Dann kann 0 aber kein Eigenwert sein, oder?

EDIT: A sei hier eine von der Aufgabe unabhängig gewählte Matrix.

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06.04.2007, 19:57

WebFritzi

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RE: zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} Rang(A)=3, Defekt(A) = 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht!

06.04.2007, 19:59

tigerbine

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RE: zwei char. Polynome --> zeige, dass dim(Kern A*B)=1
Ich meinte da auch B. Habe es geändert. Danke. Buchstabendreher Hammer

Hammer

06.04.2007, 20:00

Pejosh2001

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Ja...0 ist sowohl EW von A als auch von B...aber wie hilft mir das weiter?

06.04.2007, 20:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Ja...0 ist sowohl EW von A als auch von B...

Nein. Nur von A. Ist B invertierbar? Wie viele Dimensionen hat der Kern von A?

06.04.2007, 20:07

tigerbine

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Hat sich der Einspruch mit dem Edit erledigt?

06.04.2007, 20:09

Pejosh2001

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Ich glaube ich bin echt zu blöde dazu...okay...mein Fehler...stimmt...B hat nicht EW=0...aber woher weiß ich denn nur aufgrund der char. Polynome etwas über den Kern oder die Invertierbarkeit?

06.04.2007, 20:09

WebFritzi

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@tigerbine: Äh ja. smile

smile

Na, wenn 0 kein Eigenwert einer Matrix M ist, dann ist M halt invertierbar (weil voller Rang, bzw. Kern = {0}). Denn M - 0*I = M!!! So also, A hat den Eigenwert 0 und B ist invertierbar. Soweit so gut. Was ist denn die Dimension des Kerns von A? Das kannst du unmittelbar am char. Polynom ablesen.

06.04.2007, 20:21

Pejosh2001

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Achja...?? Kann ich das??? Kam bei uns aber nicht vor...so ein Müll...die sollen mal alles anständig erklären...

Ich versuche mal das aufzudröseln...also...der Kern einer Matrix ist die Lösung des homogenen LGS, wenn ich die Matrix mit einem Vektor multipliziere...oder liege ich auch da schon falsch?

Wenn das stimmt, dann weiß ich trotzdem nicht weiter...denn das Kapitel hatten wir nur ganz kurz...und auf den Zusammenhang bei der Matrix B...da wär ich auch nicht draufgekommen...

06.04.2007, 20:25

tigerbine

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Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die durch die Lineare Abbildung oder die sie repräsentierende Matrix, auf den Nullvektor des Bildraums abgebildet werden. In Kurzform:

Ker(A) ={v |Av=0}

06.04.2007, 20:26

tigerbine

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Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die durch die Lineare Abbildung oder die sie repräsentierende Matrix, auf den Nullvektor des Bildraums abgebildet werden. In Kurzform:

Ker(A) ={v |Av=0}

Oder anders formuliert, die Lösungsmenge L des homogenen LGS Av=0.

06.04.2007, 20:28

Pejosh2001

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Ja...das meinte ich doch...^^

06.04.2007, 20:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Achja...?? Kann ich das??? Kam bei uns aber nicht vor...so ein Müll...die sollen mal alles anständig erklären...

Na! An der Uni liegt es eher an DIR, selbst- und anständig zu lernen!

Zitat:

Original von Pejosh2001
Ich versuche mal das aufzudröseln...also...der Kern einer Matrix ist die Lösung des homogenen LGS

Nein. Der Kern ist eine Menge und besteht aus diesen Lösungen. Du meintest aber das richtige.

Zitat:

Original von Pejosh2001
Wenn das stimmt, dann weiß ich trotzdem nicht weiter..

Na gut. Offenbar ist die algebraische Vielfachheit der Null (bzgl. der Matrix A) gleich 1. Die geometrische ist immer kleiner als die algebraische. Merk dir das! Also ist auch die geometrische 1, denn sonst wäre 0 kein Eigenwert. Also ist dim ker(A) = 1. So, und jetzt der letzte Schritt. Siehst du eine Möglichkeit ker(AB) irgendwie durch ker(A) und die Inverse von B (die ja existiert) darzustellen?

06.04.2007, 20:32

tigerbine

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Zitat:

Die geometrische ist immer kleiner als die algebraische.

Wieso ist die Geometrische immer kleiner als die algebraische? Ich hätte mal "kleiner gleich" gesagt.

06.04.2007, 20:40

WebFritzi

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Huups, ja sorry. Ich meinte das natürlich so. Aber schlagt mich ruhig. Forum Kloppe

Forum Kloppe

06.04.2007, 20:45

Pejosh2001

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Also...jetzt krieg ich ja schon wieder Verständnisschwierigkeiten...denn wir hatten nicht algebraische und geometrische Vielfachheit...meinst du vielleicht das hier?

Zerlege das charakteristische Polynom von f in Linearfaktoren $\begin{eqnarray*} xi_{f}(x)=(-1)^{n}(x-\lambda_{1})^{\alpha_{1}}\cdot ... \cdot (x-\lambda{m})^{\alpha_{m}}\cdotp(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_{i}\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(x)\in K[x] \end{eqnarray*}$ ohne Nullstellen und $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},...,\lambda_{m}\in K \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden. Für i=1,...,m gilt dann:

$\begin{eqnarray*} 1\leq dim_{k}Eig(f,\lambda _{i})\leq \alpha_{i} \end{eqnarray*}$ .

Das hatten wir in der Vorlesung. Ist mir auch eigentlich plausibel, dass der Eigenraum mindestens die Dimension 1 haben muss, aber nicht größer sein kann, als Vielfachheit.

06.04.2007, 20:46

tigerbine

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Ok,

Forum Kloppe

Augenzwinkern

Da hab ich doch den Smiley im anderen Post vergessen. Aber ich dachte ein "arroganter Sack" wie Du weiß das schon richtig zu nehmen

Tanzen

Tanzen

(vielleicht tanzt er ja für Dich)

06.04.2007, 20:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Ist mir auch eigentlich plausibel, dass der Eigenraum mindestens die Dimension 1 haben muss

Gut.

Zitat:

Original von Pejosh2001
aber nicht größer sein kann, als Vielfachheit.

Hä?

verwirrt

Erklärung:
--------------

Geometrische Vielfachheit des Eigenwertes t zur Matrix A: ist die Dimension des Eigenraumes ker(A - t*I).

Algebraische Vielfachheit des Eigenwertes t zur Matrix A: ist die Vielfachheit der Nullstelle t im charakteristischen Polynom. Und was eine Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms ist, weißt du doch, oder?

06.04.2007, 20:50

WebFritzi

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@tigerbine: Ne, das mit dem Schlagen war eher lustig gemeint. Sowas muss ich ja als arroganter Sack echt mal abkönnen. Vor allem bin ich ja auch sonst ganz gut am Austeilen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.04.2007, 20:59

Pejosh2001

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Also...das was wir als Vielfachheit bezeichnen ist also die algebraische Vielfachheit...na...der Eigenraum eines EWs kann ja keine größere Dimension haben, als die algebraische Vielfachheit (setze ich jetzt mal = n), da die Darstellungsmatrix ja mindestens n-mal den Eigenwert enthält.

Jetzt noch mal zu deiner Frage von vorher...ob ich eine Möglichkeit sehe den Kern(AB) durch den Kern(A) und die Inverse von B zu ersetzen....entweder ist es zu spät für mich zum denken, oder ich stehe total auf dem Schlauch...oder ich bin zu blöde...^^...aber ich sehe da keine Möglichkeit...

Und damit ihr gleich ganz unter dem Tisch liegt....jetzt die ganz blöde Frage...wenn der Kern die Dimension 1 hat...dann heißt das doch, dass nicht nur die 0 enthalten ist...oder ist auch das falsch?

06.04.2007, 21:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
wenn der Kern die Dimension 1 hat...dann heißt das doch, dass nicht nur die 0 enthalten ist...oder ist auch das falsch?

Nein, das ist sogar goldrichtig. Freude

Freude

Der Kern enthält alle skalaren Vielfachheiten eines Vektors. Ist eben eindimensional. Der Raum, der nur aus dem Nullvektor besteht, ist nulldimensional. So, jetzt versuch mal weiterzumachen:

$\begin{eqnarray*} {\rm ker}(AB) = \{x : ABx = 0\} = \{x : Bx\in{\rm ker}(A)\} = \dots \end{eqnarray*}$

Verwende $\begin{eqnarray*} B^{-1}. \end{eqnarray*}$

06.04.2007, 21:16

Pejosh2001

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Na...immerhin mal etwas richtig... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würd ja gerne weitermachen, wenn ich deinen ersten Umwandlungsschritt verstehen würde... $\begin{eqnarray*} kern(AB)=\{x|ABx=0\}=\{x|Bx\in kern(A)\} \end{eqnarray*}$

Wieso gilt das?

06.04.2007, 21:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Ich würd ja gerne weitermachen, wenn ich deinen ersten Umwandlungsschritt verstehen würde

Das ist die Definition!!!

EDIT: Oder meinste das zweite Gleichheitszeichen? Das gilt wegen

$\begin{eqnarray*} Bx \in {\rm ker}(A) \Longleftrightarrow A(Bx) = 0. \end{eqnarray*}$

Einfach nach Definition von ker(A).

06.04.2007, 21:26

Pejosh2001

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Also...da ich ja immer noch zu blöde bin...^^...muss ich $\begin{eqnarray*} B^{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B^{1}\cdot B=I \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen?

06.04.2007, 21:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Also...da ich ja immer noch zu blöde bin...^^...muss ich $\begin{eqnarray*} B^{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B^{1}\cdot B=I \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen?

Wenn du $\begin{eqnarray*} B^1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ersetzt, stimmt's. Ja, genau das sollst du machen.

EDIT: Und "zu blöde" ist keiner. Höchstens zu faul. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.04.2007, 21:37

Pejosh2001

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Oops...ja...das kleine Minus... *grins*

Hmm, ich weiß, dass man mit der Einheitsmatrix einfach multiplizieren darf und damit nichts kaputt macht...aber dann steht da doch totaler Unfug...

Also...faul bin ich wohl nicht...nur weiß ich absolut nicht...wo ich mich schlau machen kann...die Bücher, die ich habe...helfen mir so gut wie nichts...weil unser Prof so ziemlich alles anders bezeichnet...als es in den Büchern steht und auch gerne mal das ein oder andere weglässt...

06.04.2007, 21:49

WebFritzi

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OK, gibst du mir recht, wenn ich schreibe

$\begin{eqnarray*} {\rm ker}(AB) = B^{-1}{\rm ker}(A)? \end{eqnarray*}$

06.04.2007, 21:53

Pejosh2001

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Ähm...muss ich das? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich versuche mal die Zwischenschritte aufzuschreiben...wenn es falsch ist...dann...geb ich auf...^^

$\begin{eqnarray*} Kern(AB)=B^{-1}\cdot Kern(ABB^{-1})=B^{-1}\cdot Kern(A) \end{eqnarray*}$

Oder...'Autsch...Finger verbrannt'??

06.04.2007, 22:07

WebFritzi

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Ne. So:

$\begin{eqnarray*} x\in B^{-1}{\rm ker}(A) &\Longleftrightarrow& \exists u\in{\rm ker}(A) : x = B^{-1}u\\ &\Longleftrightarrow& \exists u\in{\rm ker}(A) : Bx = u\\ &\Longleftrightarrow& Bx\in{\rm ker}(A)\\ &\Longleftrightarrow& ABx = 0\\ &\Longleftrightarrow& x\in{\rm ker}(AB). \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann jetzt die Dimension von ker(AB)? Benutze dabei die eben bewiesene Gleichheit.

06.04.2007, 22:48

Pejosh2001

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Man man man...da hab ich mal wieder total in die Sch**** gefasst...^^

Zu deiner Erläuterung... Freude

Freude

ich hab sie verstanden...nur muss man erstmal darauf kommen...dass man das ja auch so umschreiben darf...

Ähm...also...zu deiner Frage...hab ich noch eine Zwischenfrage... wenn doch jetzt der Kern(AB)=1 sein soll...dann müsste x doch der Nullvektor und ein belieber anderer Vektor sein...oder?

Und die Dimension einer Matrix ist die Zahl der linear unabhängigen Spalten? Oder waren es dir Zeilen?...ich glaube, es waren die Zeilen...

Aber wie hilft mir das jetzt weiter?

Die Dimension von Kern(A) ist ja gleich 1...rein theoretisch kann ich die Dimension doch durch Multiplikation mit einer Matrix nicht verändern...oder doch? Wenn nicht, dann muss $\begin{eqnarray*} dim_{K} Kern(AB)=1 \end{eqnarray*}$ sein.

07.04.2007, 04:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von Pejosh2001
Ähm...also...zu deiner Frage...hab ich noch eine Zwischenfrage... wenn doch jetzt der Kern(AB)=1 sein soll...dann müsste x doch der Nullvektor und ein belieber anderer Vektor sein...oder?

Ja, wie gesagt alle skalaren Vielfachen eines Vektors (hab ich oben schonmal irgendwo geschrieben). Man sagt auch, der Raum wird von einem Vektor aufgespannt.

Zitat:

Original von Pejosh2001
Und die Dimension einer Matrix ist die Zahl der linear unabhängigen Spalten? Oder waren es dir Zeilen?...ich glaube, es waren die Zeilen...

Die Dimension einer Matrix gibt es nicht! Es gibt nur den Rang. Derist hier aber unwichtig.

Zitat:

Original von Pejosh2001
Die Dimension von Kern(A) ist ja gleich 1...rein theoretisch kann ich die Dimension doch durch Multiplikation mit einer Matrix nicht verändern...oder doch?

Doch, das kann passieren. Z.B. wenn B die Nullmatrix wäre. Aber B ist ja invertierbar. Sagen wir mal, es ist ker(A) = span{x_0}. Also ker(A) wird vom Vektor x_0 aufgespannt. Wovon wird jetzt ker(AB) aufgespannt?

07.04.2007, 07:09

Pejosh2001

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Kann ich dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x\in B^{-1} Kern(A) \end{eqnarray*}$ sozusagen ersetzen? Dann würde $\begin{eqnarray*} Kern(AB) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B^{-1}\cdot x_{0} \end{eqnarray*}$ aufgespannt.

Aber das darf man bestimmt wieder nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2007, 10:43

tigerbine

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Also aus den charakteristischen Polynomen haben wir folgende Informationen entnommen:

$\begin{eqnarray*} Rang(B)=3,~Defekt(B)=0 \Rightarrow B \in GL_3(\mathbb K) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Rang(A)=2,~Defekt(A)=1 \end{eqnarray*}$

Da B also regulär ist, ist allein A für den Defekt(AB) verantwortlich. Dies sollte intuitiv klar sein, aber muss natürlich "sauber" aufgeschrieben werden. Ich versuch es mal anders hinzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} Ker(AB)=\{v \in V | ABv=0 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w:=Bv ~\forall v \in V \Rightarrow v = B^{-1}w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker(A) = \{v \in V | Av=0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v \in Ker(AB) &&\Leftrightarrow ABv=0 \\&&\Leftrightarrow A(Bv)=0 \\&& \text{ B ist regulär! } \\&&\Leftrightarrow Aw = 0 \\ &&\Leftrightarrow w \in Ker{A} \end{eqnarray*}$

D.h. zu jedem v aus dem Kern von AB findet man eineindeutig ein w aus dem Kern von A. Somit haben beide die gleiche Dimension und es gilt:

$\begin{eqnarray*} Defekt(AB)=Defekt(A)=1 \end{eqnarray*}$

07.04.2007, 11:10

Pejosh2001

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Wow...das sieht ja logisch aus...nur hab ich immer noch nicht verstanden, wie man aus den charakteristischen Polynomen den Rang ablesen kann, denn das haben wir nie irgendwie gemacht und gefunden hab ich es auch noch nirgendwo...könnt ihr mir das auch noch so einleuchtend erklären?

Ihr seid übrigens spitze... Freude

Freude

07.04.2007, 11:45

WebFritzi

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@tigerbine: Schau dir deinen Beitrag nochmal genau an. Da ist einiges sehr schlecht aufgeschrieben. Und der Rang spielt hier absolut keine Rolle. Es reicht, dass AlgVF(0) = 1.

@Pejosh2001:

Zitat:

Dann würde $\begin{eqnarray*} Kern(AB) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B^{-1}\cdot x_{0} \end{eqnarray*}$ aufgespannt.

Genau so ist es. Das musst du nur noch ordentlich aufschreiben. Dann bist du fertig. Also: Sei x aus ker(AB). Wegen ker(AB) = B^{-1}ker(A) (s.o.) gibt es ein u aus ker(A), so dass x = B^{-1}u. Jetzt u mit x_0 darstellen und fertig bist du.

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