Für welche reellen Wert von Lamda hat das homogene lineare GS nichttriviale Lösungen?

12.11.2004, 21:43

Jatze

Für welche reellen Wert von Lamda hat das homogene lineare GS nichttriviale Lösungen?

geg.:

Lamda * x + y - z = 0
x + Lamda * y + z = 0
x + 2y -Lamda * z = 0

Man bestimme diejenige Lösung, die durch die zusätzliche Gleichung

x + y + 2z = 1

festgelegt wird.

Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte, steh was die Aufgabe angeht aufn Schlauch. Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe.

MfG
Jatze

12.11.2004, 21:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bringe das lineare Gleichungssystem auf Stufenform und entscheide je nach dem Wert vom $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , wie viele Freiheiten du hast. Oder: Berechne die Determinante des Gleichungssystems und bestimme $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so, daß diese den Wert 0 hat.

12.11.2004, 21:49

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Für welche reellen Wert von Lamda hat das homogene lineare GS nichttriviale Lösungen?
Schau mal unter http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8392 Da wurde die selbe Aufgabe schon bearbeitet.

Wenn es noch Fragen gibt, dann einfach stellen Augenzwinkern

Gruß
Tobi

13.11.2004, 00:30

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Für welche reellen Wert von Lamda hat das homogene lineare GS nichttriviale Lösungen?
Danke für die antworten, aber irgendwie hatten wir das Gauß-verfahren in den Vorlesungen und den Übungsstunden anders behandelt. Ich komm da auf ganz wilde Ergebnisse mit Brüchen bis zum geht nicht mehr. Ich schreib euch mal meine Lösung bzw. nichtLösung auf. Ich weiß nicht was ich falsch mache:
(ich hoffe der zeigt das hier an, habs aus dem Programm Mathematica 5 kopiert)

\!$\*
RowBox[{
RowBox[{
RowBox[{"(", GridBox[{
{"\[Lambda]", "1", \(-1$},
{"1", "\[Lambda]", "1"},
{"1", "2", $-\[Lambda]$}
}], ")"}], " ", "=", " ",
RowBox[{
RowBox[{"(", GridBox[{
{"a1", "a2", "a3"},
{"b1", "b2", "b3"},
{"c1", "c2", "c3"}
}], ")"}], " ", "=", " ",
RowBox[{"(", GridBox[{
{"0"},
{"0"},
{"0"}
}], ")"}]}]}], "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]",
RowBox[{$c1\ als\ Pivotelement$, ",", " ",
RowBox[{"dann", " ", "folgt", " ",
RowBox[{"daraus", ":", "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]",
RowBox[{"(", GridBox[{
{"0", $\(-\((\[Lambda]\.b2)$\) + 1\), $\[Lambda] - 1$},
{"0", $2 - \[Lambda]$, $\(-\[Lambda]$ - 1\)}
}], ")"}]}]}]}], "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]",

RowBox[{$b2\ \ -> \((\ 2 - \[Lambda])$\ \ als\ Pivotelement\), ",",
" ",
RowBox[{"daraus", " ",
RowBox[{"folgt", ":", "\[IndentingNewLine]", "\[IndentingNewLine]",
RowBox[{"(",
RowBox[{GridBox[{
{"0",
"0", $-\((\[Lambda]\.b3 + 2 \[Lambda]\.b2 -
4 \[Lambda] + 1)$\)}
}], "/", $(2 - \[Lambda])$}], ")"}]}]}]}]}]\)

jedenfalls komm ich nicht so wirklich weiter mit der Methode die wir hatten und die, die ihr besprochen habt ist mir noch ziemlich spanisch!

Danke für eure Hilfe.

13.11.2004, 00:42

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat dann leider doch nicht geklappt, also ich versuch das dann mal so reinzuschreiben.

| x y z | 1
==========================================
-» | » 1 -1 | 0
(*) | 1 » 1 | 0
-1 | 1 2 -» | 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------
-(-(»²)+1)/(2-») | 0 -(»²)+1 »-1 | 0
(*) | 0 2-» -»-1 | 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------
| 0 0 -(»³+2»²-4»+1) / (2-») | 0

Theoretisch müsste das nach dem was uns beigebracht wurde richtig sein, aber es sieht ziemlich verkehrt aus find ich. Die Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon kanppe drei Studnen, bin schon am Verzweifeln.

13.11.2004, 00:45

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat dann leider doch nicht geklappt, also ich versuch das dann mal so reinzuschreiben.

| x y z | 1
==========================================
-L | L 1 -1 | 0
(*) | 1 L 1 | 0
-1 | 1 2 -L | 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------
-(-(L²)+1)/(2-L) | 0 -(L²)+1 L-1 | 0
(*) | 0 2-L -L-1 | 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------
| 0 0 -(L³+2L²-4L+1) / (2-L) | 0

Theoretisch müsste das nach dem was uns beigebracht wurde richtig sein, aber es sieht ziemlich verkehrt aus find ich. Die Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon kanppe drei Studnen, bin schon am Verzweifeln.

13.11.2004, 00:58

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem ersten Schritt hast du in der ersten Zeile einen Fehler. Das Element rechts oben ist -L-1. Dann sieht die Matrix so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1-\lambda^2 & -\lambda-1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda & -\lambda-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2004, 13:59

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok, hast Recht, da hab ich mich verwurschtelt. Ich komm danach aber trotzdem noch auf son komischen Bruch.

Hier nochmal mein Schema: (zu besseren Übersicht ist Lambda = K)

________________x_________y_________z__________1
========================================
-K_______________K_________1________-1__________0
(*)_____________(1)________K_________1__________0____E1
-1_______________1_________2_________-K_________0

===dann die 2. Zeile zur 1. gemacht, die 3. zur 2. u. die 1. zur 3.===

-1/(-K-1)_________1_________K_________1___________0
-1______________0________2-K_______-K-1__________0_____E2
(*)_____________0________1-K²______(-K-1)_________0

===========================================

_______________1____(-(-K²+1)/(-K-1))+K___0_________0
(*)_____________0______(K²-K+1)_________0_________0____E3
_______________0_______-K²+1___________-K-1_______0

===========================================

_______________1________0____________0__________0
_______________0______K²-K+1_________0__________0_____Er
_______________0________0__________-K-1__________0

Ist das so weit richtig? Wenn ja, was sagt mir das dann? Hab das noch nicht so ganz verstanden was passiert wenn ich Lambda -1 setzen würde.

PS: Welches Programm benutzt du denn immer, um diese Matrizen in dieser gängigen Form einzutippen?

13.11.2004, 14:34

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Jatze,

ich habe nicht nachgerechnet, ob der Bruch korrekt berechnet wurde. Theoretisch könnte das richtig sein. Diesen Schritt könntest du dir aber auch sparen. Es reicht, wenn am Ende unterhalb der Diagonalen nur 0en stehen. Oberhalb können auch noch andere Werte stehen. Dann sind es lediglich beim genauen Bestimmen der Lösung ein paar kleine Rechenschritte mehr.

In diesem speziellen Fall war es übrigens IMHO unerheblich, ob der Bruch richtig war, denn mit dem letzten Schritt hast du das Problem wieder neutralisiert.

Aber das soll hier nicht weiter das Problem sein. Die übrigen Rechnungen stimmen übrigens auch. Nun hast du also folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda^2-\lambda+1 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu deiner Frage, was passiert, wenn du Lambda=-1 setzt, hole ich ein bißchen weiter aus.

Du hast ein homogenes Gleichungssystem. Dieses hat entweder nur die Lösung (0/0/0) oder unendlich viele Lösungen. Weißt du, woran man erkennt, ob es genau eine oder unendlich viele Lösungen gibt? Für welche Lambda hat das LGS also unendlich viele Lösungen? Für welche Lambda hat es nur genau eine Lösung?
Nun kommt auch noch die zusätzliche Bedingung x+y+2z=1 ins Spiel. Die Lösung (0/0/0) erfüllt diese Bedingung offensichtlich nicht. Also mußt du die übrigen "unendlich vielen" Lösungen bestimmen. Und von diesen unendlichen gibt es nur eine(?), die die zusätzliche Gleichung erfüllt. Diese sollst du dann finden.

Gruß
Tobi

PS Die Matrizen schreibe ich mit dem Formeleditor http://www.matheboard.de/formeleditor.php

13.11.2004, 15:29

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, entweder hab ich die letzten Tage zu viel Mathe gebüffelt oder ich bin ein hoffnungsloser Fall. Auf deine Fragen weiß ich nicht so wirklich ne Antwort. Wenn ich x1,x2,x3 = 0 setze ist doch völlig nebensächlich wie groß // Lambda in dem Falle ist.
Ich muss doch dann auch definieren wie groß x1,x2 oder x3 ist oder?

Gruß Jatze

13.11.2004, 15:57

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mir ne Idee gekommen, meintest du vielleicht eine Nullspalte oder meinste du wirklich immer Nullzeile? Denn wenn eine Spalte z.B. die von x3 komplett 0 wird, dann kann ich ja für x3 ein beliebiges t oder sonstwas für eine Variable einsetzen oder? Dann wäre das Ergebnis für Lambda = -1 : x1=0, x2=0, x3=t oder geht das nicht so leicht?

13.11.2004, 17:20

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist auf dem richtigen Weg. Die Lösung (0/0/0) ist immer Lösung eines homogenen LGS. Dies ist die sogenannte triviale Lösung. Manchmal gibt es aber zusätzlich unendlich viele weitere Lösungen. Das nennt man dann die nichttrivialen Lösung.

Wie du bereits richtig festgestellt hast, kriegst du für Lambda=-1 eine Nullzeile, d.h. du kannst eine Variable frei bestimmen. Dies ist aber nur bei Lambda=-1 der Fall. Für alle anderen Fälle ist (0/0/0) die einzige Lösung des LGS. Insofern stimmt dein letzter Satz nicht.

Rechne mal für Lambda=-1 die genaue Lösung aus. Hast du dann eine Idee, was die zusätzliche Bedingung zu bedeuten hat?

14.11.2004, 15:32

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Versuch mir zu helfen, aber über Internet werd ich das wohl nicht kapieren, ich hoffe mir können das morgen ein paar Kommilitonen klarer machen aber ich werd mich mal mit dem nächsten Thema auseinandersetzen! Danke trotzdem nochmal für die Mühe.

Gruß Jatze!

14.11.2004, 19:54

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe zu, es ist nicht einfach, über das Internet zu erklären. Aber ich versuche es mal auf andere Art und Weise.

Wie schon gesagt: das obige Gleichungssystem hat immer zumindest die Lösung (0/0/0). Diese Lösung genügt aber nicht der weiteren Bedingung x+y+2z=1. Du mußt also den Fall betrachten, für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Das kannst du entweder so machen, wie ich es versucht habe zu erklären, oder du schreibst die Zeile x+y+2z=1 als zusätzliche Zeile in die Matrix.

Dann hättest du folgendes LGS
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kannst du machen, weil die Lösung des ursprünglichen LGS zusätzlich noch die letzte Gleichung erfüllen soll. Wenn du darauf jetzt das Gauß-Verfahren anwendest, wirst du feststellen, dass das LGS nur für bestimmte Lambda eine Lösung hat. Ansonsten ist es unlösbar.

Probier es mal aus.

Gruß
Tobi

15.11.2004, 00:22

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Geduld, ich komm mit dem Gauß so lange sehr gut klar, so lange es keine Variablen im System gibt. Kommen diese dazu ist bei mir irgendwie bis zu einem bestimmten Punkt Feierabend. Ich versuchs trotzdem nochmal, hier meine Versuch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ \lambda & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann a11 Pivotelement, daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & -2\lambda +1 & \lambda² -1 \\ 0 & -1 & 2+ \lambda \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann nehm ich das Element b22 als Ausgangspunkt und multiplizier die 2. Zeile mit 1/b22 und addiere das daraus resultierende Zeilenprodukt (Skalarprodukt?) mit der 3. Zeile und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & -2\lambda +1 & \lambda² -1 \\ 0 & 0 & \frac{-(\lambda²+3\lambda-1)}{1-2\lambda} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da schon wieder irgendwas falsch gemacht? Ich weiß auf jeden Fall immernoch nicht wie ich danach weitermache, mir ist schon klar, dass ich die Lösung für diese Bedingungen finden muss. Aber irgendwie hab ich da an irgendeiner Stelle einen Denkfehler. Also denn erstmal gute Nacht, ich bin gespannt ob ich das in meinem jetzigen Leben noch verstehen werde =).

Gruß Jatze!

15.11.2004, 00:24

Jatze

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_1_1 \end{eqnarray*}$

15.11.2004, 01:44

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Jatze,

Lass dich nicht durch Variablen erschrecken. Die können auch nichts dafür, dass sie keine Zahlen sind Augenzwinkern

Und dann noch ein Tip für den Umgang mit dem Formeleditor. Potenzen werde nicht mit x², sondern mit x^2 geschrieben. Dann wird das auch richtig dargestellt. Ich habe das mal korrigiert und werde das hier komplett zitieren.

Zitat:

Original von Jatze
Danke für deine Geduld, ich komm mit dem Gauß so lange sehr gut klar, so lange es keine Variablen im System gibt. Kommen diese dazu ist bei mir irgendwie bis zu einem bestimmten Punkt Feierabend. Ich versuchs trotzdem nochmal, hier meine Versuch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ \lambda & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann a11 Pivotelement, daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & -2\lambda +1 & \lambda^2 -1 \\ 0 & -1 & 2+ \lambda \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann nehm ich das Element b22 als Ausgangspunkt und multiplizier die 2. Zeile mit 1/b22 und addiere das daraus resultierende Zeilenprodukt (Skalarprodukt?) mit der 3. Zeile und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -\lambda \\ 0 & -2\lambda +1 & \lambda^2 -1 \\ 0 & 0 & \frac{-(\lambda^2+3\lambda-1)}{1-2\lambda} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da schon wieder irgendwas falsch gemacht? Ich weiß auf jeden Fall immernoch nicht wie ich danach weitermache, mir ist schon klar, dass ich die Lösung für diese Bedingungen finden muss. Aber irgendwie hab ich da an irgendeiner Stelle einen Denkfehler. Also denn erstmal gute Nacht, ich bin gespannt ob ich das in meinem jetzigen Leben noch verstehen werde =).

Gruß Jatze!

Der Fehler liegt übrigens schon in der allerersten Matrix. Du hast beim Vertauschen der Zeilen eine Zeile doppelt geschrieben und eine andere vergessen. Das weitere Vorgehen ist aber vom Prinzip her richtig. Ich habe lediglich die Zahlen nicht einzeln nachgerechnet.

Wenn du alles richtig gemacht hast, solltest du am Ende zwei Zeilen der Form a*z=b bekommen, die beiden von Lambda abhängen. Du kannst diese beiden Werte für z also ausrechnen. Wenn das Gleichungssystem lösbar sein soll, müssen diese beiden Werte natürlich gleich sein. Sonst würde sich ja ein Widerspruch ergeben. Setze also die Werte mal gleich und löse nach Lambda auf.

Gruß
Tobi, der jetzt auch ins Bett geht

Neue Frage »

Antworten »

Für welche reellen Wert von Lamda hat das homogene lineare GS nichttriviale Lösungen?

Verwandte Themen