Bogenlänge

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12.11.2004, 22:04	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge Hallo ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Sei r>1 und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die logartihmische Spirale $\begin{eqnarray} \gamma: \mathbb R --> \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t --> ( r^{t} cos 2 \pi t, r^{t} sin 2 \pi t) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass für die Bogenlänge gilt: $\begin{eqnarray} L(\gamma\|[a,b])=\frac{c}{ln r}(r^{b}-r^{a}) \forall [a,b] \in \mathbb R, c=(ln^{2}r+4\pi ^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Ich bin durch Umfomungen zu folgendem Integral gekommen, weiß aber nun nicht mehr weiter: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~r^{2t}ln^{2}(r)cos^{2}(2\pi t)-r^{2t}sin^{2}(2\pi t)4\pi t^{2}+r^{2t}ln^{2}(r)sin^{2}(2\pi t)+r^{2t}cos^{2}(2\pi t)4\pi t^{2}~dx \end{eqnarray}$ Das ganze hat ja zu der Lösung eine gewisse Ähnlichkeit, doch fehlen mir die richtigen Schritte den Term zu integrieren. Ich danke für eure Hilfe!
12.11.2004, 22:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Integrand stimmt nicht: 1. Es muß $\begin{eqnarray} \mbox{d}t \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \mbox{d}x \end{eqnarray}$ heißen. 2. Die Wurzel um den ganzen Integrandenterm herum fehlt. 3. Ansonsten stimmen der erste und dritte Summand, wogegen der zweite und vierte falsch sind. 4. Insbesondere ist das $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ nicht erklärlich. 5. Beachte: $\begin{eqnarray} \sin^2{u}+\cos^2{u}=1 \end{eqnarray}$ Hast du beim Quadrieren an die binomische Formel gedacht?
12.11.2004, 22:54	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge 1. und 2.: Stimmt, versehentlich falsch gemacht, ebenso t². Habe die binomische Formel benutzt. Der jeweils zweite Summand konnte gegeneinander wegsubtrahiert werden. Oder nicht? Inwiefern sind der 2. und 4. Summand falsch und wie gehe ich dann weiter vor?
13.11.2004, 16:15	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge Also habs nochmal nachgerechnet, komme nun auf folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~(r^{2t}ln(r)cos^{2}(2\pi t)+r^{2t}sin^{2}(2\pi t)4\pi^{2})^{\frac{1}{2}}+(r^{2t}ln(r)sin^{2}(2\pi t)+r^{2t}cos^{2}(2\pi t)4\pi^{2})^{\frac{1}{2}} ~dt \end{eqnarray}$ Ist das nun richtig? Und inwiefern nutze ich, dass sin²(u)+cos²(u)=1? Kann ich die entsprechenden Terme einfach zusammenfassen? Und wie integriere ich? Lieben Gruß Antje
13.11.2004, 18:14	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge Hallo Antje_, Sie sind irgendwie voll auf dem Holzweg, die Bogenlänge von einer ebenen Kurve t -> (x(t), y(t)) ist doch Integrate[Sqrt[(dx(t)/dt)^2 + (dy(t)/dt)^2], {t, a, b}] (im Mathematica Stil geschrieben, aber alllgemeinverständlich), in Ihrer Formel gibt es zwei __einzelne__ Wurzeln je als Summand; die Summe ist unter der Wurzel. Jetzt noch zum vergleichen: In[3]:= Simplify[D[r^tCos[2Pit], t]^2 + D[r^tSin[2Pit], t]^2] Out[3]= r^(2t)(4Pi^2 + Log[r]^2) Dadurch, dass die beiden Ableitungsquadrate unter derselben Wurzel stehen, kann man vereinfachen, sonst ginge das nicht. Davon muss man die Wurzel ziehen und nach t (!!) integrieren, der Log ist gar nicht mehr im Integral dann, das kriegen Sie hin! In[4]:= Integrate[Sqrt[D[r^tCos[2Pit], t]^2 + D[r^tSin[2Pit], t]^2], {t, a, b}, Assumptions -> {r > 1}] Out[4]= ((-r^a + r^b)Sqrt[4*Pi^2 + Log[r]^2])/Log[r] Entschuldigen Sie bitte, dass ich Mathematica Output hier reinziehe, aber ich habe schon Monate im Leben nach verschlamperten Termen gesucht und lass jetzt die Maschinen das machen, was sie gut können und hoffe, dass ich selbst noch was kann, was die nicht können.
13.11.2004, 18:25	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge Hallo, lieb gemeint, aber leider verstehe ich gar nichts von dem Posting
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13.11.2004, 18:36	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge Was verstehen Sie jetzt nicht? Die Formel für die Bogenlänge ist klar, sicher. Jetzt muss in Ihrer Formel als Integrand eine einzige Wurzel auftreten (nicht 2 Wurzeln) unter der die beiden Quadrate der Ableitungen zu stehen kommen. Wenn das richtig gerechnet ist, dann kommt eben gerade Integral[Sqrt[r^(2t)(4*Pi^2 + Log[r]^2)], {t, a, b}] zum Integrieren über t raus (wie macht ihr hier die Formeln, ich bin erst seit heute in diesem Board) und das ist doch ein einfaches Integral - und der Sonntag ist gerettet.
13.11.2004, 19:25	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Udo, willkommen im Matheboard. Wir benutzen hier LaTeX. Wenn du mit den Befehlen nicht bewandert bist, dann erhälst du hier Hilfe für die gebräuchlichsten Befehle . Der Link befindet sich auch direkt unter dem Textfeld in das du deine Antworten schreibst. Wär schön wenn du das Tool auch benutzt, denn ehrlich gesagt ist es nicht ganz einfach deine Formeln zu verstehen, wenn man Mathematica nicht kennt. Gruß Anirahtak
13.11.2004, 20:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L(\gamma \left\| [a,b]\right.) = \int_a^b~\sqrt{\begin{matrix}r^{2t}\left( \ln^2{r} \; \cos^2{(2\pi t)} + 4\pi^2 \sin^2{(2\pi t)} - 4\pi \ln{r} \sin{(2\pi t)} \cos{(2\pi t)} \right) \\ + r^{2t}\left( \ln^2{r} \; \sin^2{(2\pi t)} + 4\pi^2 \cos^2{(2\pi t)} + 4\pi \ln{r} \sin{(2\pi t)} \cos{(2\pi t)} \right) \end{matrix}}~\mbox{d}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_a^b~\sqrt{r^{2t} \left( \ln^2{r} + 4\pi^2 \right)}~\mbox{d}t = \sqrt{\ln^2{r} + 4\pi^2} \int_a^b~r^t~\mbox{d}t = \sqrt{\ln^2{r} + 4\pi^2} \cdot \frac{r^b-r^a}{\ln{r}} \end{eqnarray}$
14.11.2004, 12:30	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch mal zusammenfassend... Hallo Leopold, vielen Dank! War denn mein zuletzt hergeleitetes Integral soweit korrekt und kann ich daraus Deine Folgerung herleiten? LG
14.11.2004, 12:37	Antje__	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Also noch mal zusammenfassend... Ah habs verstanden, man zieht nach der binomischen Formeln das r^(2t) raus. Aber wie kommt man von der großen Wurzel auf die zweite?
14.11.2004, 13:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein zuletzt hergeleitetes Integral war nicht korrekt, einfach weil die Formel nicht so geht. Du mußt die Wurzel über die ganze Summe ziehen, nicht über die einzelnen Summanden, wie das schon Herr Raumpfleger gesagt hat. Die Sinus-Cosinus-Formel findet Anwendung, indem man bei den Gliedern mit $\begin{eqnarray} \ln^2{r} \end{eqnarray}$ dieses ausklammert (ebenso bei den Gliedern mit $\begin{eqnarray} 4\pi^2 \end{eqnarray}$ ).

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