abivorbereitung - kegelschnitt

06.04.2007, 22:07	sofiiie	Auf diesen Beitrag antworten »
abivorbereitung - kegelschnitt hallo allerseits! ...Eine Hyperbel geht durch den Punkt P(5/y>0) der Ellipse ell: $\begin{eqnarray} 3x^{2}+5x^{2}=120 \end{eqnarray}$ und ist zu ihr konfokal. Die hyperbel hat den haputscheitel A, die Ellipse den Nebenscheitel B, der Koordinatenursprung ist O. Die Tangenten in P an Ellipse und Hyperbel schneiden die y-Achse in Q und R. Zeigen Sie, dass Q und R auf einem Kreis liegen, der durch die Brennpunkt F1 und F2 und durch P verläuft. Ich kapier bei dieser aufgabe rein gar nichts!! ich hab grad einmal die fehlende y koordinate von P ausgerechnet, aber jetzt stehe ich an... könnte mir vielleicht wer ein paar tipps geben wie ich das angehe oder eine skizze machen? ich möchte wirklich selber draufkommen also nicht zuviel verraten, schließlich muss ich das in einem knappem monat auchaaaaaah
07.04.2007, 02:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Konfokal heissen Kegelschnitte dann, wenn sie einen Brennpunkt / die Brennpunkte gemeinsam haben. Das bedeutet dann, dass die lineare Exzentrizität e bei beiden gleich groß ist. $\begin{eqnarray} e_{Ell} = e_{Hyp} \end{eqnarray}$ Berechne zunächst $\begin{eqnarray} e_{Ell} \end{eqnarray}$ von der Ellipse, denn von dieser sind die Achsenlängen aus der Gleichung bekannt. Bringe dazu die Ellipsengleichung auf die Form $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^2 = a^2 - b^2 \end{eqnarray}$ Für die Berechnung von a und b (Haupt- Nebenachsenlänge) der Hyperbel können wir 2 Gleichungen aufstellen: 1.: P(5;3) ist Element der Hyperbel 2. $\begin{eqnarray} e_{Hyp} = e_{Ell} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} e_{Hyp} \end{eqnarray}$ gilt eine ähnliche Formel wie die o.a. der Ellipse ... Die Tangentengleichungen der Tangenten IN einem Punkt $\begin{eqnarray} P(x_1;y_1) \end{eqnarray}$ des Kegelschnittes werden mittels der Spaltformel erstellt: $\begin{eqnarray} \frac{x_1x}{a^2} \pm \frac{y_1y}{b^2} = 1 \ \text{[Ell. / Hyp.]} \end{eqnarray}$ Der gegenständliche Kreis muss seinen Mittelpunkt auf der Nebenachse der Kegelschnitte (y-Achse) haben, weil die Brennpunkte symmetrisch liegen. Wir ermitteln diesen Mittelpunkt als Schnittpunkt der Nebenachse mit der Streckensymmetralen (Mittensenkrechten) von F..P und setzen dann die berechneten Koordinaten von Q und R ein, wobei sich eine Identität ergeben muss. Bemerkung: Die Kreisgleichung ist auch direkt durch Einsetzen der drei Punkte in die allgemeine Form zu erstellen. mY+
07.04.2007, 10:29	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ohne worte werner

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