Kosten-Gewinn-Erlösfunktion

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marcusadvance Auf diesen Beitrag antworten »
Kosten-Gewinn-Erlösfunktion
Hallo zusammen.

ich hab da ein paar Fragen zu diesem Thema, und es wäre klasse, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.



Wozu macht man eine notwendige und eine hinreichende Bedingung bei der Erreichnung vom Betriebsminimum und vom Betriebsoptimum ??

Betriebsminimum = K´(x) = kv(x)

n.B. kv´(x) = 0
h.B. kv``(x)> 0

Betriebsoptimum = K`(x)= k(x)

n.B. k´(x) = 0
h.B. k´´(x) > 0

Was bedeuten die Begriffe Betriebsminimum und Betriebsoptimum ?

Und warum macht man bei der Gewinnfunktion auch eine notwendige und eine hinreichende Bedingung ?? Und warum ist die hinreichende Bedinung < 0

h.B. G´´´(x) < 0


Tschuldigung für die vielen Fragen auf einmal, aber ihr seit meine letzte Rettung :-)
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Betriebsoptiumum ist die Bezeichnung für eine ganz bestimmte Produktionsmenge, nämlich die Produktionsmenge, bei der der Betrieb am wirtschaftlichsten produziert. Wirtschaftlich meint dabei das Verhältnis von Leistung und Kosten. Die Produktion ist da am wirtschaftlichsten, wo die durchschnittlichen Kosten je Stück am geringsten sind: Nimm z.B. an ein Betrieb hätte nur zwei Möglichkeiten bei der Produktion. 1) 200 Stück, wobei Kosten von 4000,00 EUR entstehen oder 2) 300 Stück, wobei Kosten von 4500,00 EUR. Die Gesamtkosten sind dann zwar in 1) geringer, aber dafür bekommt der Betrieb bei 2) ja auch mehr raus. Um zu entscheiden, was denn jetzt besser ist, rechnet man nach, wie hoch den die Kosten pro Stück sind und stellt fest: 1) 20 EUR 2) 15 EUR. In dem Fall läge also das Betriebsoptimum bei einer Produktionsmenge von 300 Stück. Wenn man statt der zwei Fälle eine Funktion betrachtet, gilt es also die Stelle zu finden, wo die Funktion der Kosten je Stück (k(x)) am geringsten ist, also ein Minimum hat.

Betriebsminimum ist ebenfalls die Bezeichnung einer Produktionsmenge, nämlich der Menge, bei der die variablen Stückkosten am geringsten sind. Diese Stelle ist für ein Unternehmen dann wichtig, wenn es durch Konkurrenzdruck unter dem kostendeckenden Preis anbieten muss. Da die fixen Kosten sowieso entstehen (auch wenn man nichts produziert) kümmert man sich nur um die variablen Stückkosten und produziert genau so viel, dass diese am geringsten sind, also im Betriebsminimum. Kurzfristig kann ein Unternehmen dann zu einem Preis anbieten, der nur die variblen Stückkosten deckt. Ist noch nichtmal das der Fall, sollte es lieber gar nicht produzieren.
Zur Ermittlung des Betriebsminimums muss also das Minimum der Funktion der variablen Stückkosten () gefunden werden.

Man muss also in beiden Fällen das Minimum einer Funktion finden und an der Stelle kommt der mathematische Teil:
Ein Minimum kann überhaupt nur vorliegen, wenn die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist. (Das lässt sich auch betriebswirtschaftlich über den Begriff der Grenzkosten erklären, aber ich glaube das führt zu weit). Deshalb sucht man über 1. Ableitung = 0 (notwendige Bedingung) erstmal alle Stellen, die für das Vorliegen eines Minimums in Frage kommen. Hat man die gefunden, kann man aber nicht wirklich sicher sein, ob auch tatsächlich ein Minimum vorliegt. Es könnte z.B. ganz im Gegenteil sogar ein Maximum an der Stelle sein, denn auch im Maximum ist die 1. Ableitung = 0. Deshalb muss man die gefundenen Stellen überprüfen und das macht man mit der 2. Ableitung (hinreichende Bedingung). Immer wenn die zweite Ableitung für den gefundenen x-Wert GRÖßER Null ist, liegt ein MINIMUM vor und immer wenn sie kleiner Null ist liegt ein Maximum vor.

Damit hast Du im Prinzip auch schon die Erklärung für die Gewinnfunktion: Dort suchst Du vermutlich das Maximum, also die Menge, bei der der Gewinn am größten ist. Naja und ein Maximum suchst Du erstmal mit 1. Ableitung = 0, genau wie oben und prüfst dann mit der 2. Ableitung, ob es wirklich eins ist und da gilt eben 2. Ableitung KLEINER Null => MAXIMUM.
Allerdings hast Du als hinreichende Bedingung geschrieben, dass die 3. Ableitung kleiner Null sein soll. Ich nehme an, da hast Du Dich vertan, denn das wäre die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle und die macht bei der Gewinnfunktion wenig Sinn.

Nur zur Sicherheit: Die Stückkostenfunktion k(x), die Du für's Betriebsoptimum brauchst bekommst Du, indem Du die Gesamtkostenfunktion K(x) durch x teilst (alle Summanden) und die Funktion der variablen Stückkosten (), die Du für's Betriebsminimum brauchst bekommst Du, indem Du die variablen Gesamtkosten () durch x teilst. Die variablen Gesamtkosten () wiederum bekommst Du, indem Du bei den Gesamtkosten (K(x)) einfach den letzten Summand (den ohne x) weg lässt.

Noch Fragen?

Gruß Poldi
marcusadvance Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für diesen Kommentar - hat mich echt weitergebracht bzw. das Interesse neu geweckt, sodass ich wieder eine Frage dazu habe.

Wenn ich das BO berechne und ich dann eine Funktion 3. Grades habe, wie zB. x³ - 30x² - 18000 = 0, dann brauche ich ja ne Nullstelle. Das kann ich ja mit der Polynomdivision machen aber bei diesem Beispiel ist das nicht so leicht die Nullstelle durch probieren zu erhalten. Wenn das nicht geht muss man doch das Newtonsches Nährungsverfahren anwenden oder ??

Dazu muss man doch hiervon die Ableitung bilden halt f´(x) bzw 3x²-60x

und dann ?? x1 = x0 - f(xo) / f´(xo) ?? Das raff ich irgendwie nicht.


Gruß und vielen Dank

Markus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist schon richtig:

bzw.



Jetzt brauchst du noch einen halbwegs vernünftigen Startwert, also ein x0, welches in der Nähe der Nullstelle liegt.

Dazu erstellst du eine Wertetabelle der Funktion f(x) und stellst fest, bei welchen beiden x-Werten der Funktionswert f(x) sein Vorzeichen wechselt. Derjenige, welcher den absolut kleineren Funktionswert erzeugt, kann als Startwert verwendet werden.

..
f(39) = -4311; f '(39) = ..
f(40) = -2000; f '(40) = 2400
f(41) = +491; f '(41) = 2583
..

Also ist x0 = 41 der Startwert, die weitere Rechnung sollte nun die Nullstelle 40,8086 liefern.

Gr
mYthos
marcusadvance Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank mYthos für Ihre Hilfe - hab auch den Wert rausbekommen.

Jetzt habe ich wieder eine Frage, und zwar handelt es sich diesmal um den Cournotschen Punkt bzw um die Cournotsche Menge.

Den C. Punkt erhalte ich ja wenn ich G´(x) = 0 setze.

Was sagt das Ergebnis denn dann aus ??

Und die C. Menge erhalte ich indem ich den C. Punkt in die Preisabsatzfunktion setze ?

Bekomme den Wert doch nicht raus - hab mir vertan ;-(

Vielen Dank für eure Hilfe.

marcusadvance
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Über den Cournot'schen Punkt gibt Wikipedia hinreichend Auskunft (ein Beispiel ist auch dabei):

http://de.wikipedia.org/wiki/Cournotscher_Punkt

Das Ergebnis sagt aus, dass bei einer bestimmten Absatzmenge x_c der Gewinn G maximal ist. Der zu dieser Absatzmenge gehörende Preis p_c bildet mit x_c ein Wertepaar (x_c | p_c), welcher - in einem Absatzmenge-Preis - Diagramm eingetragen, den sogenannten Cournot'schen Punkt definiert.

Gr
mYthos
 
 
marcusadvance Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man da auf die 40,8086 bei dem Newtonschen Nährungsverfahren. Muss man da irgendwas bestimmtes in den TR eingeben ??

Sorry wahrscheinlich super einfach aber ich bin eine totale Matheniete.

gruß
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na einfach den Algorithmus, den du ja schon richtig aufgeschrieben hast, schrittweise durchführen.



Nun mit diesem x_1 wieder so verfahren:



Das wiederholst du so lange, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

Mit dem TR wirst du die Werte nicht sofort (direkt) erhalten, es sei denn, er ist programmierbar. In diesem Fall kannst du die Funktion bzw. deren Ableitung eingeben und die entsprechenden Funktionswerte sofort ermitteln und diese dem Algorithmus unterziehen.

Wenn du Excel auf deinem PC hast und du dich dafür ein wenig interessierst, kann dieses Verfahren darin sehr schön abgearbeitet werden.

Siehe dazu u.a.

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1548
(und Link zur Excel-Tabelle)

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=7494

Gr
mYthos
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip steht's schon oben, aber ich versuch den C-Punkt nochmal anschaulich zu erklären:

Der Monopolist möchte natürlich den größtmöglichen Gewinn erzielen. Er kann über G' (x) = 0 herausfinden, welche Menge er absetzen muss, um dieses Ziel zu erreichen (Ergebnis der Rechnung bringt nämlich die gewinnmaximale Menge - nehmen wir als Bsp. an, das seien 1000 Stück). Jetzt muss er aber auch noch wissen welchen Preis er an sein Produkt schreiben soll, damit die Menge auch tatsächlich gekauft wird, denn es bringt ja nichts 1000 Stück zu produzieren, und so teuer auszuzeichnen, dass nur 700 Käufer das Produkt kaufen. Die Information, bei welchem Preis genau 1000 St. abgesetzt werden können liefert ihm die Preis-Absatz-Funktion. Setzt man hier die 1000 ein, erhält man den zugehörigen Preis (nehmen wir als Bsp. an, das sei 5,00 EUR). Der C-Punkt bezeichnet nun die Prei-Mengen-Kombination, die wir gerade gefunden haben: C (1000; 5)!

Gruß Poldi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... dass Unternehmen an solchen Dingern rumbasteln, jaa

dass sie die 'Ableitung' bestimmen und dann produzieren wo die
genau Null ..., halt ich eher für ein größeres Gerücht denn für Realität


ähnlich wie sie keine Verpackungen produzieren oder benutzen mit
minimaler Oberfläche .... sondern solche, welche mehr hertäuschen
als drin ist usw. usw. ...


wär schön, wenns so einfach wär
.
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Jaaa! Hast ja recht! Allein die PAF ist im Zweifel schon alles andere als exakt bekannt ... usw. Aber in der Theorie halt ...

Gruß Poldi
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