Ableitung einer Funktionenschar

07.04.2007, 10:02	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktionenschar Hallo, habe Probleme beim Ableiten meiner Funktionsschar. Es wäre nett wenn mir jemand helfen kann. Die erste Ableitung ist kein Problem, aber bei der zweiten kann ich die Ableitung des Nenners nicht, welche ich zur Ableitung der gesamten Funktion brauche, da es sich bei der Funktion um einen Bruch handelt: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{k}{1+e^{-kx}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{k^2e^{-kx}}{(1+e^{-kx})^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{k^2e^{-kx}(-k)(1+e^{-kx})^2-k^2e^{-kx} \text{ Ableitung des Nenners}}{(1+e^{-kx})^4} \end{eqnarray}$ Also falls, das soweit alles richtig ist, fehlt mir be der 2. Ableitung nur noch im zweiten Summand als Faktor die Ableitung des Nenners, also von $\begin{eqnarray} (1+e^{-kx})^2 \end{eqnarray}$ . Da muss man doch die Kettenregel anwenden, oder? Aber ich glaube das, was ich raus habe ist falsch: $\begin{eqnarray} 2(e^{-kx}(-k)) \end{eqnarray*}$ Schon mal danke im Voraus MOD: Text in Latex
07.04.2007, 10:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktionenschar $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{k}{1+e^{-kx}} \end{eqnarray}$ Mit der Quotientenregel: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{0-k\cdot (e^{-kx}\cdot(-k))}{(1+e^{-kx})^2} =\frac{k^2\cdot e^{-kx}}{(1+e^{-kx})^2} \end{eqnarray}$ Nochmal die Quotientenregel. Basteln wir die einzelnen Teile: Ableitung 1: $\begin{eqnarray} k^2 \cdot e^{-kx}\cdot (-k) = -k^3\cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ Ableitung 2: (Kettenregel) $\begin{eqnarray} 2(1+e^{-kx})\cdot (-k)\cdot e^{-kx}= -2k\cdot(1+e^{-kx})\cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ Schaffst du es jetzt weiter?
07.04.2007, 10:18	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktionenschar Ja mein Problem war ja lediglich die Ableitung von $\begin{eqnarray} (1+e^{-kx})^2 \end{eqnarray}$ , die ja laut dir so aussieht: $\begin{eqnarray} 2(1+e^{-kx})\cdot (-k)\cdot e^{-kx}= -2k\cdot(1+e^{-kx})\cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ Ja danke, habe ich nun verstanden, dass ist ja eine doppelt verkettete Funktion. Dann fehlt ja jetzt nur noch die dritte, dann kann ich die Wendepunkte bestimmen....
07.04.2007, 13:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktionenschar Na mit dem Motto von " Dinner for One" wirst du schon schaffen. "Same procedure ... "

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