Cauchyscher Grenzwertsatz

13.11.2004, 17:57	defatigation	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyscher Grenzwertsatz $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } an = a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} bn=\frac{a0+...+an}{n+1} \end{eqnarray}$ zu zeigen ist, dass bn auch gegen a konvergiert. Kann mit jemand nen Tipp geben, wie ich das zeigen kann? Mir schwebt nach suchen in einem Buch der Cauchyscher Grenzwertsatz vor, vielleicht kann jemand etwas Licht ins Dunkle bringen.... THX
13.11.2004, 18:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie weit bist du denn gekommen? Du musst versuchen, das ein wenig mithilfe der Dreiecksungleichung aufzulösen, dann zeigen, dass es ein n0 gibt, für das die beiden Teile <epsilon/2 werden und dann biste fertig.
13.11.2004, 18:41	defatigation	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\|a0+...+an\|}{n+1} \leq \frac{\|a0+...+am\|}{n+1} + \frac{\|am+1+...+an\|}{n+1} < \frac{Espilon}{2}+ \frac{Espilon}{2} = Epsilon \end{eqnarray}$ Ich denke, dass das die Lösung ist, habe eben a0...an in a0....am und am+1...an aufgeteilt. Mir fehlt aber jetzt irgendwie die endgültige Argumentation, warum bn ebenfalls gegen a konvergiert:-(
13.11.2004, 22:44	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst da natürlich noch a mit einbauen! Wähle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ fest, und zwar so, dass für alle $\begin{eqnarray} n>m \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ bleibt. Es folgt $\begin{eqnarray} \left\|\frac{a_0+...+a_n}{n+1}-a\right\|=\left\|\frac{a_0+...+a_n-(n+1)a}{n+1}\right\|=\left\|\frac{(a_0-a)+...+(a_n-a)}{n+1}\right\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \left\|\frac{(a_0-a)+...+(a_m-a)}{n+1}\right\|+\left\|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n+1}\right\| \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du nur noch zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n+1}\right\|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ bleibt für $\begin{eqnarray} n>n_1 \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{(a_0-a)+...+(a_m-a)}{n+1}\right\|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n>n_2 \end{eqnarray}$ gilt. Letzteres ist ziemlich trivial und ersteres auch nicht schwer!

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