Fragen zum Fragen zu [Workshop]-[Folgen & Reihen]

09.11.2004, 21:15

ubs

Fragen zum Fragen zu [Workshop]-[Folgen & Reihen]

Zitat:

Original von Deakandy
Neuer Begriff: Konvergenz:
Definition:
Eine (reelle) Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ heißt konvergent, wenn ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0 (\epsilon) \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} \vert a_n-a \vert < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Man nennt a den Limes oder Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und schreibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n =a \end{eqnarray*}$ .
Man sagt auch, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \, , \ n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

HI, ich hab da tierisch meine Probleme damit. Hat mir jemand nen Tip, wo ich nähere Infos über den Grenzwert finde im Web? Hammer

09.11.2004, 21:19

Leopold

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Eine interessante Diskussion zu diesem Themengebiet. Wenn du die durcharbeitest, wirst du vieles begreifen.

13.11.2004, 19:13

ubs

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RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele

Zitat:

Original von Deakandy

4.)
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac {n^2+2} {n} \, ; \ n \in \mathbb N \rightarrow 3\, , \ 3 \, , \ \frac {11} {2} \, , \ ...., \, ??? \end{eqnarray*}$

5.)
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac {3n^2+n+4} {2n^2+4n+2} \, ; \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow 1 \, , \ \frac {10} {9} \, , \ \frac {34} {32} \, , \ \frac {56} {50} \, , \ ... \, , \ \frac {3} {2} \end{eqnarray*}$

Während z.B. in Beipiel 4 der Wert immer größer wird, schneide ich in Beispiel 5 das nächste Thema an. Eine Folge kann einen "Endwert" annehmen. Man spricht dabei von Konvergenz.
Mehr dazu im nächsten Punkt.

So nochmal ich: 1,2,3 hab ich kapiert. Wie kommst du z.B. bei 5 auf 1, und 10/9. Kannst du mir das erklären? smile

13.11.2004, 19:29

BraiNFrosT

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RE: Veranschaulichung durch einfache Beispiele

Zitat:

Original von ubs
Wie kommst du z.B. bei 5 auf 1, und 10/9. Kannst du mir das erklären? smile

a(1) = 8/8 = 1

a(3) = 34/32 = 17/16

Die 10/9 gehören wohl zu n=2 und müssten 18/18 = 1 sein.

Oder hab ich mich so verrechnet ??

13.11.2004, 19:45

ubs

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also bei a2 hab ich auch 18/18 raus! Wink

und 17/16 hab ich auch raus. hm. Forum Kloppe

13.11.2004, 22:55

Mathespezialschüler

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Ich hab das mal vom Workshop abgetrennt und nen Fragethread drausgemacht.
Für n=2 bekomm ich auch 18/18=1.

@abs
17/16 ist das gleiche wie 34/32!!

14.11.2004, 09:24

ubs

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich hab das mal vom Workshop abgetrennt und nen Fragethread drausgemacht.
Für n=2 bekomm ich auch 18/18=1.

@abs
17/16 ist das gleiche wie 34/32!!

hi, aber 17/16 sind nicht gleich 10/9 verwirrt

14.11.2004, 11:08

Mathespezialschüler

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Das zweite Folgenglied von Deakandy ist $\begin{eqnarray*} \frac{10}{9} \end{eqnarray*}$ . Das ist falsch, da sind wir uns einig, denn da müsste $\begin{eqnarray*} \frac{18}{18}=1 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Das dritte von ihm ist $\begin{eqnarray*} \frac{34}{32} \end{eqnarray*}$ , da bekommt BRaiNFrosT und du ja wohl auch $\begin{eqnarray*} \frac{17}{16} \end{eqnarray*}$ raus. BRaiNFrosT hat aber eigentlich schon gezeigt, dass er zuerst $\begin{eqnarray*} \frac{34}{32} \end{eqnarray*}$ hatte und dann gekürzt hat. Deakandys dritte Folgenglied $\begin{eqnarray*} \frac{34}{32} \end{eqnarray*}$ ist also nicht falsch, sondern nur nicht gekürzt!

14.11.2004, 14:37

ubs

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ok, so denke ich auch.

danke Augenzwinkern

31.12.2004, 16:53

The_Lion

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Hallo,
ich habe eine Frage zum Thema Folgen und das ist sicher nicht die einzige.
Eine Folge in M ist ja eine Abbildung $\begin{eqnarray*} a: \ \mathbb N \rightarrow M \end{eqnarray*}$ .

Ist die rechte Seite der Funktion f: x --> x^2 auch eine Folge, wenn man den Definitionsbereich auf die reelle Zahlen festlegt ? Denn dann würde die Abbildung ja von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gehen.

Danke.

31.12.2004, 16:56

iammrvip

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geht ja auch. z.b.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \mapsto f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

31.12.2004, 17:02

The_Lion

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aber dann hätte man doch keine eindeutige Zuordnung von IN --> M (hier IR), da ja auf der x-Achse zwischen zwei reellen zahlen immer eine andere reelle zahl liegt, somit könnte man da die Definition doch nicht anwenden oder ? Denn man müsste die natürlichen Zahlen auf dem Definitionsbereich immer verschieben

31.12.2004, 20:54

Mathespezialschüler

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Der Definitionsbereich einer Folge ist immer $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so ist eine Folge nämlich definiert:
Eine Folge ist eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Sicher gibt es auch allgemeinere Definitionen, z.B. für komplexe Folgen:
Eine komplexe Folge ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Und sicher kann man das auch auf beliebige Mengen M ausdehnen (wie es in normierten Räumen ja auch gemacht wird. Da ist dann z.B. $\begin{eqnarray*} M=\mathbb R^p \end{eqnarray*}$ oder M die Menge aller (konvergenten) Folgen oder Ähnliches.):
Eine Folge ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mbox{M} \end{eqnarray*}$ .
Aber das von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach ... bleibt immer, das heißt, eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\ : \mathbb R\to \mbox{M} \end{eqnarray*}$ kann niemals eine Folge sein!

04.05.2005, 11:31

rieger benjamin

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RE: Fragen zum Fragen zu [Workshop]-[Folgen & Reihen]
hallo ihr mathespezialisten find ich echt voll cool von euch das ihr das macht hat mir schon oft geholfen!!!!!!!!!!!!!!!!! Rock

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