Goldener Schnitt in Algebra

07.04.2007, 19:39

Snowfan

Goldener Schnitt in Algebra

Hallöle!

Hab da ne Frage bzgl. des Auflösens der folgenden Gleichung:
Es handelt sich dabei um den "Zahlwert" des goldenen Schnitts und ich will dessen "Besonderheit" zeigen.
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{G} = G - 1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} G = \frac{2}{ \sqrt{5}- 1 } \end{eqnarray*}$

wenn ich dann G einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \frac{2}{ \sqrt{5} - 1 }} = \frac{2}{ \sqrt{5} - 1} - 1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Auflösen erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 4 = 4 \end{eqnarray*}$

oder aber
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ , was ja irgendwie das Gleiche ist.
Meine Frage dazu ist nun, ob ich damit gezeigt habe, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{G} = G - 1 \end{eqnarray*}$ stimmt...
Ich würd ja sagen, dass ich es damit gezeigt habe, aber bin mir grad absolut nicht mehr sicher. unglücklich

Danke fürs nachgucken und die Hilfe im Voraus.
LG
SF

07.04.2007, 19:46

tigerbine

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{G} = G - 1\text{ mit } G = \frac{2}{ \sqrt{5}- 1 } \end{eqnarray*}$

Führt also das Einsetzen zu einer wahren Aussage? (Früher nannte man das ja auch: Kinder, macht schön die Probe) Big Laugh

Mathematisch wäre eigentlich interessant, ist dieses G die einzige Lösung Augenzwinkern

07.04.2007, 19:49

Snowfan

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Jupp, das Einsetzen ergibt dann wohl ne wahre Aussage.
Also stimmts Big Laugh

Zitat:

Original von tigerbine
Mathematisch wäre eigentlich interessant, ist dieses G die einzige Lösung Augenzwinkern

Wie jetzt? verwirrt

07.04.2007, 20:04

tigerbine

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Naja, wenn man nur diese Zeile betrachtet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{G} = G - 1 \end{eqnarray*}$

Die du uns hier als Besonderheit andrehen willst. Augenzwinkern

Dann fragt man sich doch, welche G, ich nehme mal als Du suchst in den reellen Zahlen, also $\begin{eqnarray*} G \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ lösen diese Gleichung. Damit sie überhaupt definiert ist muss wohl gelten: $\begin{eqnarray*} G \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann schreibt man das mal um...

$\begin{eqnarray*} 1 = G^2 - G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = G^2-G-1 \end{eqnarray*}$

Also eine Quadratische Gleichung. Da nehmen wir mal eine Lösungsformel, ich nehme immer die abc-Formel.

$\begin{eqnarray*} G_{1,2} = \frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = (1+\sqrt{5})^2-2(1+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = 1+2\sqrt{5} + 5-2-2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

**************************************************

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}} = \frac{1-\sqrt{5}}{2} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1-\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = (1-\sqrt{5})^2-2(1-\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = 1-2\sqrt{5} + 5-2+2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

07.04.2007, 20:14

Snowfan

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Ahhh so. Jetzt weiss ich, was du meinst.
Aber das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{G} = G - 1 \end{eqnarray*}$ war nur eine Gleichung, die ich zeigen will. Da gibts allerdings mehr, da hast du voll und ganz Recht (wie eigentlich immer Big Laugh

)

Jene welche $\begin{eqnarray*} 1 = G^2 - G \end{eqnarray*}$ zeig ich auch noch und dann hab ich noch $\begin{eqnarray*} G + \frac{1}{G} = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

Es ging mit bei meinem ersten Post eher darum, obs vom Prinzip her stimmt, da ich mir nicht sicher war, ob das der richtige Weg war.
Aber danke fürs nachgucken Mit Zunge

07.04.2007, 20:22

tigerbine

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Wie sieht es nun mit deinem G eigentlich aus....

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{2}{ \sqrt{5}- 1 }} = \frac{2}{ \sqrt{5}- 1 } - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}- 1}{2} = \frac{2}{ \sqrt{5}- 1 } - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}- 1)^2 = 4-2(\sqrt{5}- 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}- 1)^2+2(\sqrt{5}- 1) = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1 \approx 1.618 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2 \approx -0.618 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \approx 1.618 \end{eqnarray*}$

Also wie musst Du umformen?

$\begin{eqnarray*} G_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} =\frac{(1+\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})}{2(-1+\sqrt{5})}=\frac{2}{\sqrt{5}-1} \end{eqnarray*}$

In der Zwischenzeit habe ich auch deine Antwort gelesen. Dass Du die Zweite Gleichung dann noch zeigen willst, ist ja eigentlich überflüssig, da es nur eine Umformung der ersten ist. Augenzwinkern

07.04.2007, 20:27

Snowfan

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RE: Goldener Schnitt in Algebra

Zitat:

Original von tigerbine
Dass Du die Zweite Gleichung dann noch zeigen willst, ist ja eigentlich überflüssig, da es nur eine Umformung der ersten ist. Augenzwinkern

Des hab ich auch gedacht, aber mein Prof hätte die anderen Umformungen auch noch gern mit drin...
Und wenn ers so will, dann form ich noch ein bißchen lustig in der Gegend rum um. Big Laugh

07.04.2007, 20:29

tigerbine

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Just to please him.... Big Laugh

Skol

07.04.2007, 20:31

Snowfan

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RE: Goldener Schnitt in Algebra
Natürlemeng!
Daran solls nicht scheitern. Dann rechne ich nu noch n bißchen rum!
Danke dir! Mit Zunge

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