Vollstämdige Induktion - GFS |
| 14.11.2004, 01:00 | Richi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vollstämdige Induktion - GFS so ich bin im Gymnasium 12 Klasse und muss da ne GFS über das Thema der vollständigen Induktion halten, die Aufgabe ist: "Erläutern sie die Beweismethode der vollständigen Induktion" So und eben dazu muss ich einen schriftlichen Teil abgeben und den wollt ich euch mal zeigen: Das Prinzip der vollständigen Induktion Mit Hilfe der vollständigen Induktion lassen sich bestimmte mathematische Aussagen durch ein methodisches Vorgehen, das immer nach dem selben Muster abläuft, beweisen. Dieses Beweisverfahren beschränkt sich auf den Zahlenbereich N der natürlichen Zahlen, denn erst die Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden die Grundlage, die dieses Verfahren ermöglichen. Man beweist mit der vollständigen Induktion, dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft besitzen oder dass eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Dazu müssen zwei Vorraussetzungen erfüllt sein: - die Aussage A(n) muss für eine natürliche Zahl n0a eine wahre Aussage ergeben, die Aussage A(a) muss also wahr sein - man nimmt an, dass die Aussage A(n) für eine beliebige Zahl n=n0 eine wahre Aussage ergibt Wenn man nun mit diesen Vorraussetzungen zeigen kann, dass aus der Richtigkeit der Aussage A(n0), die Richtigkeit der Aussage A(n0+1) folgt, so hat man die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n e a bewiesen. Ablauf der vollständigen Induktion Die vollständige Induktion läuft immer nach dem selben Muster ab, die nachfolgenden drei Schritten erklärt sind. 1) Induktionsanfang 2) Induktionsvoraussetzung 3) Induktionsschluss Eine Aussage A(n) ist gegeben und es gilt diese durch Vollständige Induktion zu Beweisen, dazu geht man folgendermaßen vor: 1) Induktionsanfang Hier zeigt man, dass die Aussage A(n) für n = a (a ist irgendeine natürliche Zahl) eine wahre Aussage ergibt. Dies ist die Grundvoraussetzung für den Beweis, da man den Induktionsschluss unter der Annahme macht, dass es ein solches n gibt, für das die Aussage gilt. 2) Induktionsvoraussetzung Man nimmt an, dass die Aussage A(n) für eine beliebige Zahl n=n0 gilt, also A(n0) ergibt eine wahre Aussage. Nur unter dieser Vorraussetzung kann man den nun folgenden Induktionsschluss ausführen. 3)Induktionsschluss Nun muss man beweisen, dass aus A(n0) folgt A(n0+1). Damit hat man auch bewiesen, dass die Aussage A(n) für alle n e a wahr ist, da nach dem Induktionsanfang bewiesen wurde, dass es ein n gibt, für das A(n) stimmt und nach dem Induktionsschluss, dass aus A(n) folgt A(n+1). Die Aussage A(n) ist somit für alle natürlichen Zahlen ab a bewiesen. Jetzt erkennt man auch, wie wichtig der Induktionsanfang ist, denn nur wenn es einen Induktionsanfang gibt, macht auch der Induktionsschluss Sinn, denn dieser beweist nur: Wenn A(n) gilt, so folgt, dass sie auch für den Nachfolger A(n+1) zutrifft So und jetzt meine Frage, stimmt das was ich da geschrieben hab alles und sollte ich noch irgendwas hinzufügen, was zu dem Thema gehört? Vieen dank für eure Hilfe! |
||||||
| 14.11.2004, 02:59 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, dein Text war -soweit ich das beurteilen kann- korrekt. Einige kleine Anmerkungen hätte ich noch:
Das klingt etwas mißverständlich, denn es lassen sich z.B. auch Aussagen beweisen. Vielleicht schreibst du besser sowas wie "Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, mit dem man die Gültigkeit einer Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n prüfen kann. Die natürlichen Zahlen bilden die Grundlage..." Dann würde ich erwähnen, dass man im Induktionsanfang meist die kleinste natürliche Zahl (und nicht etwa irgendeine natürliche Zahl)nimmt, für die die Aussage gilt. Denn für kleinere Zahlen als den Startwert macht die Induktion keine Aussage.
Es soll wohl n >= a heißen? Vielleicht kannst du auch noch kurz erwähnen, dass man als Induktionsannahme nicht nur annehmen darf, dass die Aussage für n gilt, sondern dass sie für alle m <= n gilt. Ich würde auf jeden Fall noch mindestens zwei Beispiele anfügen. |
||||||
| 14.11.2004, 10:39 | Richi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
erstmal danke für die Tipps: es sollte n>=a heißen, ist ein Tippfehler, die ersten beiden Verbessrungsvorschläge habe ich übernommen, aber das ist mir nicht ganz klar:
heißt das dass angenommen wird dass die Aussage A(n0) für alle n0 gilt? beweise ich das nicht erst mit dem Induktionsschluss? UNd eine Beispielaufgabe war auch schon vorgegeben, die hatte ioch gestern nur noch nicht gerechnet: Das eben beschriebene Beweisverfahren der vollständigen Induktion werde ich nun auf folgende Behauptung Anwenden. Die Folge (an) mit a1=1 und an+1=1/4*(an)²+1 ist beschränkt. n T N a1H1 a2H1,25 a3H89/64 a4H1,48 a5H1,55 a6H1,60 a7H1,64 a8H1,67 a9H1,70 a10H1,72 Aussage A(n): Die Folge (an) ist beschränkt mit 1 d an d 2 Induktionsanfang: Die Aussage A(n) ist wahr für n=1, denn a1=1 Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, dass die Aussage A(n) für k=n (k T N) zutrifft. ð 1 d ak d 2 Induktionsschluss: ak+1=1/4*(ak)²+1 e 1 und ak+1=1/4*( ak)²+1 d 1/4*2²+1=2 ð 1 d ak+1 e 2 ð Damit ist bewiesen, dass die Behauptung für an+1 und somit für alle ne1 gilt. ich glaub da habe ich keine Fehler gemacht, falls ihr doch welche seht sagt sie mir 
. |
||||||
| 19.09.2005, 06:22 | wuddel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Vollstämdige Induktion - GFS Da hast du ja gleich ganze Sätze abgeschrieben von [URL]http://www.emath.de/cgi-bin/Statistik/axs/ax.cgi?http://www.emath.de/Referate/Vollstaendige-Induktion.pdf[/URL] "Mit Hilfe der vollständigen Induktion lassen sich bestimmte mathematische Aussagen durch ein methodisches Vorgehen, das immer nach dem selben [einem] Muster abläuft, beweisen. Dieses Beweisverfahren beschränkt sich auf den Zahlenbereich N der natürlichen Zahlen, denn (erst) die Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden die Grundlage, die dieses Verfahren [erst] ermöglichen[ermöglicht]." "(Man beweist mit der vollständigen Induktion,) dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft besitzen oder dass eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen wahr [...] iist." Du solltest dann auch die Quelle angeben, wo du das her hast, sonst gilt "deine Arbeit" als Plagiat. Gruß wuddel www.die-mathematik.de |
||||||
| 19.09.2005, 06:44 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde dir empfehlen den Text dahingehend zu überarbeiten das er mehr nach dir selbst klingt. Insbesondere fällt auf das der Stil in dem beschrieben wird zwischendurch wechselt. Versuch doch mal dir über das Verfahren klar zu werden und die wichtigsten Aussagen selbst zu formulieren.
Ist das nun eine Vorraussetzung oder eine Annahme? Deine Formulierung ist hier etwas widersprüchlich
Gehst du in deinem Vortrag darauf ein welche besondere Eigenschaft das ist oder bleibt das leer im Raum stehen? Insgesamt empfehle ich dir dringend den an und für sich nicht falschen Text zu überarbeiten. |
||||||
| 19.09.2005, 10:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schaut aufs datum jungs! der text wurde wohl schon lange so abgegeben, vielleicht hat der lehrer das wörtliche abschreiben ja bemerkt und korrekterweise die bewertung nach unten gezogen. mfg jochen |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
