konvergente Folge

14.11.2004, 10:41	IKE	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergente Folge Hallo, ich habe ein kleines Problem mit der folgenden Aufgabe: Seien a > 0 ; x (0) > 0 und x(n+1) := $\begin{eqnarray} \frac{x^2(n)+3a}{3x^2(n)+a} x(n) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Folge x(n) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Hinweis:* Betrachte x(n+1) - x(n) und a - x^2(n+1) Nun habe ich folgendes Problem, alle meine Versuche den Grenzwert zu berechnen ergaben immer das wenn ich X gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lasse ich dann als Grenzwert $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ erhalte. Also scheint die Folge ja gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ zu konvergieren, bzw. die konvergiert erst gar nicht, dies ist doch aber dann im Widerspruch zur Aufgabenstellung, oder sehe ich da was falsch?? Ich wäre sehr dankbar für einige Tipps. Komme so im Moment echt nicht wirklich weiter voran. mfg IKE
14.11.2004, 11:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst ja auch nicht x gegen unendlich laufen lassen, sondern musst n gegen unendlich laufen lassen! Ich schreib deins mal ein wenig anders hin (nur als optische Hilfe für mich, dann kann ich besser mit umgehen :hammer $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{x_n^2+3a}{3x_n^2+a}\cdot x_n \end{eqnarray}$ Wenn wir den Grenzwert mal x nennen und du lässt jetzt auf beiden Seiten n gegen unendlich laufen, dann kannst du doch für $\begin{eqnarray} x_{n+1} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ überall x einsetzen. Dann umformen und x berechnen. Vorher musst du natürlich zeigen, dass die Folge konvergiert, hast du es schonmal mit dem Hinweis probiert?
14.11.2004, 12:04	IKE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mit dem Hinweis hab ich es auch schonmal probiert, bin da aber auch nicht wirklich zu einem ergebnis gekommen Aber danke erstmal für den Hinweis. Mal sehen wie weit ich damit nun komme. mfg
14.11.2004, 12:16	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, habe erstmal den Hinweis editiert: $\begin{eqnarray} x_{n+1}-x_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a - x_{n+1}^{2} \end{eqnarray}$ Ich glaube in dieser Form ist er besser. Ich habe mir eben auch mal den Spaß gemacht und mit diesem Hinweis gerechnet, aber mir wird daraus auch nichts ersichtlich außer das man sich damit zu tode rechnen könnte. An einem Ergebnis wäre auch in Interessiert gruß Yoko
14.11.2004, 12:20	IKE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also mir ist gerade doch eine Idee gekommen, ich werde sie mal durchspielen und dann mal schauen was dabei raus kommt. Vielen Dank für das editieren. Liebe Grüße an Dich Yoko ^^
15.11.2004, 22:06	detrax	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich sitze auch noch an der Aufgabe, komme aber nicht weiter. Hast Du herausgefunden wie es funktioniert? Wäre nett, wenn Du es sagen könntest, da die Zeit ja inzwischen etwas knapp ist. Danke...
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15.11.2004, 23:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein weiterer Hinweis. Zeige: $\begin{eqnarray} x_n > \sqrt{a} \Longleftrightarrow x_{n+1} > \sqrt{a}\;. \end{eqnarray}$ Dann ist alles eigentlich ganz einfach.

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