Beweis x³ Archimedis

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KaAN Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis x³ Archimedis
War jetzt ne woche nicht in der schule traurig
doch mir wurde grad gesagt, das wir diese themen hatten und das hier eine Hausaufgabe ist. wenn mir jemand kleine ansätze verraten kann, wärs nicht schlecht Wink



Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen von un der x-Ache über dem Intervall [=;1]. Gehen sie analog zum archimedischen Beispiel f(x) = x² vor.

Benötige Formel: 1³+ 2³+...+n³ =[n²(n+1)²]/4
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

kannst du was mit den Begriffen Ober- bzw. Untersumme was anfangen? Am einfachsten wäre es natürlich, das Integral zu bestimmen und die Fläche einfach auszurechnen.

Gruß,
Thomas
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

also greife das Thema einfach nochmal auf...
ich kann was mit ober und untersumme anfangen:


Untersumme

mit der oben schon genannten Formel ist alels umgewandelt worden zu ....


aber wie ist das bei z.B. im Intervall 0 bis n ( soll später unendlich werden, aber soweit bin ich noch nicht) dachte ich mir folgendes ...

Untersumme =


stimmt das so? was ich nicht glaube ! falls doch, habe ich keine Ahnung, wie ich das vereinfachen soll, damit ich dann unendlich für n einsetzen kann! Bitte um Hilfe, sitz schon sooo lange drann!
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

will ja nich nerven, aber kann das wirklich niemand hier?^^ oder macht ihr euch keine Mühe, weil das eh mit Integration besser geht?
Würde mich trotzdem über eure Hilfe freuen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht solltest du das archimedische beispiel noch schnell erläutern.

ich hab davon schon mal gehört und meine mich zu erinnern, dass er die fläche der parabel mit dreiecken ausgeschöpft hat.

wenn du hilfe willst, solltest du uns die arbeit zu recherchieren abnehmen Augenzwinkern
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Also das folgende Beispiel:



Untersumme

in der Klammer wird erst ausquadriert, dann wird das n aus der Klammer geworfen...
es entsteht dann das Ergebniss 1/n³*[0+1+2+3+...+(1-n)]...
Diese Klammer enthält dann die Formel: 1²+2²+3²+4²+....+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 (wurde uns im Mathematikbuch schon vorgegeben)
Wenn ich das hier drauf anwende, kommt ja raus
und das umgewandelt gibt ....








Soviel zum Rechnerischen! Jetzt das Theoretische dahinter.
http://www.mac.gmxhome.de/Mathe/int1.gif
Das grüne ist die Untersumme, di ich jetzt nru haben will und das Rote die Obersumme. Obersumme -Untersumme soll gegen 0 gehen, damit ich einen möglichst kleinen (genauen) Flächenbereich angeben kann, In dem die tatsächliche Fläche liegen könnte. Um das aber zu erreichen, muss ich das ganze mit n angehen, damit ich für n unendlich einsetzen kann. Dadurch werden die Streifen immer schmaler und daher wird die Differenz zwischen Obersumme - Untersumme = 0 !


Hoffe, habe euch jetzt die theoretische Rechersche genommen Augenzwinkern und bitte immer noch um Hilfe Augenzwinkern ^^
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

achso du meinst also einfach nur ober- und untersumme.

ich habe archimedes und flächenberechnung unter einer parabel mal in einem anderen zusammenhang gehört..


naja wie wärs wenn du einfach aus den 2en im exponenten jeweils 3en machst...
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
also greife das Thema einfach nochmal auf...
.....
aber wie ist das bei z.B. im Intervall 0 bis n ( soll später unendlich werden, aber soweit bin ich noch nicht) dachte ich mir folgendes ...


der Beitrag war nich von mir, und meine Änderung war nur von x³ zu

^^

muss ich dann anstatt

einfach sowas schreiben wie und dann nochmal wegen der ...+1 einfach nochmal bei einem Intervall [0;2] 1*2 dazuaddieren.
Wenn die Funktion ...+3 geheißen hätte, dann einfach 3*2 + mein ergebnis?

Stimmt das dann so, oder muss ich die gazne Formel dann ausklammern und sowas?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
achso du meinst also einfach nur ober- und untersumme.

ich habe archimedes und flächenberechnung unter einer parabel mal in einem anderen zusammenhang gehört..




da hast du richtig gehört
archimedes
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Um nach dem Prinzip des Archimedes die Fläche unter der Parabel



von x1 = 0 bis x2 = 1 zu bestimmen, solltest Du folgendermaßen vorgehen:

Du zerlegst die Strecke x1 bis x2 in n gleiche Teile und errichtest in den Teilpunkten Senkrechte bis zum Schnitt mit der Parabel.

Damit hast Du die gesuchte Fläche in n schmale Streifen zerlegt. Jeder einzelne Streifen, sehr schmal gedacht, kann als Rechteck angesehen werden. Damit kann man den Flächeninhalt bestimmen:

Die Breite eines einzelnen Streifens beträgt . Die Höhe jedes einzelnen Streifens erhält man so:

Der Abstand der Streifen von der y-Achse beträgt . Da sein oberster Rand auf der Parabel liegt, entspricht die Höhe des Streifens der Ordinate des Parabelpunktes, also
.

Der Flächeninhalt eines Streifens ergibt sich aus dem Produkt .

Der Gesamtflächeninhalt beträgt F = .

Die Summe ergibt ausgerechnet und vereinfacht .

Denkt man sich nun die Anzahl der Streifen n ins Unendliche gesteigert, dann strebt der Wert der beiden letzten Summanden gegen Null und es bleibt als gesuchter Flächeninhalt unter der Parabel zwischen den Grenzen x1= 0 und x2 = 1

rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathegreis
Der Abstand der Streifen von der y-Achse beträgt . Da sein oberster Rand auf der Parabel liegt, entspricht die Höhe des Streifens der Ordinate des Parabelpunktes, also

Der Flächeninhalt eines Streifens ergibt sich aus dem Produkt




Danke sehr, hat mir schon sehr weitergeholfn, aber ich weis immer noch nicht 100% wie das jetzt mit
???

bei mir kommt dann sowas raus, aber keine Ahnung ob es jetzt RICHTIG ist ????:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
aber wie ist das bei z.B. im Intervall 0 bis n ( soll später unendlich werden, aber soweit bin ich noch nicht) dachte ich mir folgendes ...

Untersumme =


stimmt das so?


Nein. Ganz abgesehen davon ist die Fläche unter 2x² + 1 über dem Intervall [0,oo) unendlich groß. Das kann man auch ganz einfach an einer Zeichnung erkennen.
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie WebFritzi Dir bereits mitgeteilt hat, benötigst Du eine "rechte" Grenze.

In dem von mir oben dargestellten Beispiel handelt es sich um einen Sonderfall. (Grenzen x1 = 0; x2 = 1)
Sollten die Grenzen anders als im Beispiel gezogen werden, oder die Parabel keine Normalparabel mit S im Ursprung sein, müssen Änderungen vorgenommen werden.
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