Gruppen // Zeigen Sie:

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dd Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen // Zeigen Sie:
Hey,

bin grade am stocken an der Aufgabe:

Es seinen (A,o) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und x Element A ein festes Element. Zeigen Sie:

a) Es gibt ein kleinstes k Element N mit . k nennt man die Ordnung von x.

b) Ist k die Ordnung von x, so gilt: B = {} ist eine Untergruppe von A, die abelsch ist und k Elemente besitzt.


Was ist bitte eine Ordnung? Wie findet / zeigt man, dass es ein kleinstes k gibt?

danke für eure hilfe
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Was eine Ordnung ist steht doch eben in deiner Aufgabe:



Die Ordnung von x ist die kleinste natürliche Zahl k, für die das neutrale Element ist.

Wir wissen, dass A nur endliche viele Elemente enthält.

Jetzt betrachten wir mal



Da A nur endliche viele Elemente hat müssen existieren, so dass .

Kannst du damit was anfangen?
dd Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

das oben hab ich jetzt gerafft! danke
aber mit dem satz hier komm ich nicht klar:

Zitat:

Da A nur endliche viele Elemente hat müssen existieren, so dass .


was hat das mit p und q zu tun? wir suchen doch k? und wieso muss gelten dass . ?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal langsam.

Wir betrachten die Elemente .

Das sind genau |A| Elemente. (Also genausoviele, wie die Gruppe A Elemente hat.)

Wir können aber sagen, dass JEDES Element Element von A ist. (Denn und die Verknüpfung einer Gruppe ist abgeschlossen).

Wir nehmen jetzt einfach an, dass das neutrale Element e nicht in der Reihe vorkommt (denn sonst hätten wir die Behauptung ja schon angenommen). Dann haben wir |A| Elemente hingeschrieben, die alle aus A kommen aber wir kennen nur |A|-1 verschiedene Elemente (da e ja rausgenommen wurde).

Wenn man 7 Zahlen hat, aber 8 aufschreiben soll, dann muss man ja auch eine doppelt aufschreiben, also sind zwei Elemente aus der Reihe auf jeden Fall gleich.

Wir sagen jetzt die Elemente die gleich sind haben die Exponenten q und r. (Und man kann sogar o.B.d.A. annehmen, dass q > r). Also:



Wir kennen zwar q und r nicht, aber wir können annehmen, dass sie existieren!

ist aber netterweise Gruppenelement. Und jedes Gruppenelement hat ein Inverses bezüglich der Gruppenverknüpfung. Das Inverse von sei jetzt mal .

Dann gilt:



.

Das ist genau das, was wir zeigen wollten.
dd Auf diesen Beitrag antworten »

sehr fein smile

danke Tanzen
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