Ring oder Körper

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14.11.2004, 17:32	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring oder Körper Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe vielleich kann mir ja einer helfen. Sei $\begin{eqnarray} R=\{ x+y\sqrt{3}\ \| x,y\in\mathbb Q\} \end{eqnarray}$ versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation. a Man zeige, dass R ein Ring ist. b Man prüfe, ob R ein Körper ist. Vielen Dank
14.11.2004, 18:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige die Abgeschlossenheit bezüglich aller (nullären, unären, binären) Operationen. Assoziativgesetze, Kommutativgesetze und das Distributivgesetz gelten, da sie ja in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gelten. Zum multiplikativen Inversen: dritte binomische Formel.
15.11.2004, 15:51	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das auch etwas einfacher? Ich verstehe nicht was gemeint ist
15.11.2004, 16:06	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
leopold will damit sagen: um zu bewesisen, das dein tripel (R,+,) ein Ring ist, beweise einfach, dass die Ringaxiome gelten. Um dann wiederum danach nachzuprüfen, ob es sogar ein körper ist, brauchst du dann nur noch die beiden zur körperdefiniton fehlenden axiome (multiplikatives inverses für alle außer der additiven 0 und kommutativität bzgl. ) zu beweisen oder eines davon zu widerlegen. klar soweit? viel spaß beim knobeln, mfg jochen
16.11.2004, 20:03	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich gut an aber ich weiß nicht genau wie ich das machen soll. Also die 4 Ringaxiome kenne ich aber wie ich sie anwenden soll weiß ich leider nicht. Oder besser ich weiß nicht wie genau sowas bewiesen wird. z.B. (R,+) ist eine kommutative Gruppe. Deren neutrales Element heißt Null, Bezeichnung 0. Was mach ich damit jetzt?
17.11.2004, 00:11	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Angeben, was das neutrale Element, also die Null, in R ist.
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19.11.2004, 20:04	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bezüglich der addition ist 0 das neutrale Element und bezüglich der multiplikation ist es 1 oder?
19.11.2004, 20:09	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig
20.11.2004, 17:54	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß ja das $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ein Körper ist, und das $\begin{eqnarray} x,y,\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sind. Das bedeutet: $\begin{eqnarray} R \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ (R,+) ist eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist 0 bezüglich der Addition. $\begin{eqnarray} x+y \sqrt{3}=y \sqrt{3}+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y \sqrt{3}= x+y \sqrt{3}+0=0+x+y \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Es gilt das Assoziativgesetz (für ): $\begin{eqnarray} x+(y) \sqrt{3}=x+y (\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ Es gibt (für ) ein Neutrales Element 1 $\begin{eqnarray} x+y \sqrt{3}= x+y \sqrt{3}\cdot 0=0\cdot x+y \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Es gelten die Distributivgesetze Ja Reicht das um zu beweisen das es ein Ring ist?
20.11.2004, 18:19	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also dein neutrales element der addition sieht so aus: $\begin{eqnarray} 0+0\sqrt3 \end{eqnarray}$ das der multiplikation dann $\begin{eqnarray} 1+0\sqrt3 \end{eqnarray}$ nicht 0 wie du in deiner rechnung schreibst. was ist denn das für eine assoziativität?? zu zeigen ist a(bc)=(ab)c und a,b und c sind jeweils von der gestalt $\begin{eqnarray} q_1+q_2\sqrt{3} \end{eqnarray}$ schaue die also diesen teil auf jeden fall noch mal in ruhe an! mfg jochen

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