Erwartungswert |
15.11.2004, 11:31 | arzoo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erwartungswert Betrachten Sie den Würfel [0; 1]^3 im lR^3 zusammen mit der Gleichverteilung der Punkte. Für einen zufälligen Punkt z im Würfel seien R(z),S(z) und V (z) die Werte der Zufallsvariablen, die den Radius, die Oberfläche bzw. das Volumen der größten Kugel im Würfel mit Mittelpunkt in z beschreiben. Berechnen Sie deren Erwartungswerte und für eine der Variablen auch die Varianz ! |
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17.11.2004, 11:26 | rad238 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich verstehe das so: Die Komponenten x, y und z des Mittelpunktes von unserer Kugel sind im Intervall [0; 1] gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsdichten sind dann: p(x)=p(y)=p(z)=1. Der Radius der Kugel ist dann das Minimum von x, (1-x), y, (1-y), z und (1-z). Das ist der Abstand zur nächsten Wand. Die Wahrscheinlichkeitsdichte vom Minimum x_m=min{x; (1-x)} von x und (1-x) ist dann über das Intervall [0; 0,5] gleichverteilt und konstant p(x_m)=2. Analog sind p(y_m)=p(z_m)=2, im Intervall [0; 0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(x_m>r) berechnet sich zu . Analoges gilt für y_m und z_m. Die Wahrscheinlichkeit dafür das der Radius R größer als r ist , ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit, dass x_m und y_m und z_m größer r sind. Und weil x_m, y_m, z_m statistisch unabhängig sind: . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für R ist somit: Der Erwartungswert von R ist dann: . Der Erwartungswert der Oberfläche O=4*pi*r² ist ........ Ist das so gemeint? Kannst Du den Rest alleine? Viele Grüße rad238 |
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