Erwartungswert

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arzoo Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert
Ich benötige hilfe bei dieser komplizierten Aufgabe,ich verstehe gar nicht wo ich da anfangen und wie ich dan weitermachen muss unglücklich

Betrachten Sie den Würfel [0; 1]^3 im lR^3 zusammen mit
der Gleichverteilung der Punkte. Für einen zufälligen Punkt z im Würfel seien R(z),S(z) und V (z) die Werte der Zufallsvariablen, die den Radius, die Oberfläche bzw. das Volumen der größten Kugel im Würfel mit Mittelpunkt in z beschreiben. Berechnen Sie deren Erwartungswerte und für eine der Variablen auch die Varianz !
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das so:

Die Komponenten x, y und z des Mittelpunktes von unserer Kugel sind im Intervall [0; 1] gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsdichten sind dann:
p(x)=p(y)=p(z)=1.

Der Radius der Kugel ist dann das Minimum von x, (1-x), y, (1-y), z und (1-z). Das ist der Abstand zur nächsten Wand. Die Wahrscheinlichkeitsdichte vom Minimum x_m=min{x; (1-x)} von x und (1-x) ist dann über das Intervall [0; 0,5] gleichverteilt und konstant p(x_m)=2. Analog sind p(y_m)=p(z_m)=2, im Intervall [0; 0,5].

Die Wahrscheinlichkeit P(x_m>r) berechnet sich zu
.
Analoges gilt für y_m und z_m.

Die Wahrscheinlichkeit dafür das der Radius R größer als r ist , ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit, dass x_m und y_m und z_m größer r sind. Und weil x_m, y_m, z_m statistisch unabhängig sind:
.


Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für R ist somit:


Der Erwartungswert von R ist dann:
.

Der Erwartungswert der Oberfläche O=4*pi*r² ist
........

Ist das so gemeint?
Kannst Du den Rest alleine?

Viele Grüße
rad238
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