Konvergenz, Grenzwert

15.11.2004, 12:36

Sinus_

Konvergenz, Grenzwert

Hallo!

Bräuchte mal ein bißchen Hilfe bei zwei Aufgaben:

Man soll die Konvergenz und ggf. den Grenzwert von zwei Folgen bestimmen. Leider komme ich damit nicht recht weiter. Villeicht hat hier jemand ne Idee?!

(i) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n} } ^{n} \end{eqnarray*}$

15.11.2004, 12:41

Sinus

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Verbesserung
Ups...

War noch nciht fertig und bin auf den falschen Button gekommen.

Nochmal:

(i) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n} }) ^{n} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n^2}) ^{n} \end{eqnarray*}$

Beide Aufgaben hängen ja irgendwie mit dem Grenzwert der Folge (ii) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n} \end{eqnarray*}$ zusammen (e). Aber wie kann ich da einen Zusammenhang herstellen? Ich kann ja nicht einfach sagen, dass ich die eine Folge halt schneller und die andere halt langsamer dem Grenzwert annähert.

Wer hat dazu eine gute Idee?

15.11.2004, 13:09

t0rb3n

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also wenn du dir einfach mal die funktionsgraphen ansiehst, scheint es nicht so das die folgen gegen e konvergieren. vielmehr konvergiert die eine $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x^2})^x \end{eqnarray*}$ gegen 1 und die andere geht ins unendliche...

15.11.2004, 13:20

Poff

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RE: Verbesserung
(1+1/sqrt(n))^n = (1+1/sqrt(n))^(sqrt(n)*sqrt(n)) =

= ( (1+1/sqrt(n))^(sqrt(n) )^sqrt(n))
.

15.11.2004, 13:28

t0rb3n

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was bringt das?

15.11.2004, 13:40

Poff

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... na daran siehst dass das gegen unendlich läuft

und

(1+1/n^2)^n = (1+1/n^2)^(n^2*1/n) = ((1+1/n^2)^n^2)^(1/n)

und konvergiert wegen a^1/n -->1 für beschränktes a
gegen 1

15.11.2004, 14:55

Sinus_

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Sorry, aber das verstehe ich nicht....kann mir das mal jemand mit einfach erkären? Wäre echt lieb.

15.11.2004, 15:40

riwe

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das hat doch poff eh ganz klar dargelegt, aber vielleicht "russisch" so:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^{n} = 1 +2\cdot \frac{1}{n} + nur glieder, die potenzen von \frac{1}{n} enthalten \end{eqnarray*}$

wenn n -> unendlich --> 1/n --> 0 und damit erhält man = 1+0+0+...=1

das gilt für beliebiges n, daher auch für die wurzel, bzw. das quadrat

werner

15.11.2004, 16:11

Sinus_

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Das ist mir schon klar, aber die Folge

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n} \end{eqnarray*}$ geht ja eben nicht gegen 1, sondern wie ich in der Vorlesung gelernt habe gegen e. Mir ist einfach nicht ersichtlich, warum dann

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n} }) ^{n} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n^2} ) ^{n} \end{eqnarray*}$ gegen andere Werte gehen soll.

Wo ist mein Fehler?

15.11.2004, 16:21

Poff

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... na gut, ein kleines Problem besteht doch.

Unterstellt man dass für x aus R, x -->oo (1+1/x)^x -->e bekannt
ist, dann ist's klar (Umsubstitution, sqrt(n) als auch n^2 -->oo).

Falls das nur für n aus N bekannt ist, gehts wohl nicht ganz so glatt

ii) (1+1/n^2)^(n^2) stellt eine Teilfolge von (1+1/n)^n dar und
muss damit ebenfalls gegen e konvergieren.
nimmt man noch als bekannt hinzu, dass a^(1/n) für beliebiges
a > 0 gegen 1 konvergiert, muss das Paket gegen 1 konvergieren.

i) hier kann man sich etwas raustrixen, weil der GW ja nicht existiert
(1+1/sqrt(n))^(sqrt(n) enthält immer wieder Elemente der Folge
(1+1/n)^n, was erzwingt dass wenn ein GW existieren würde der
mit dem dieser Teilfolge übereinstimmen müsste.
Nun existiert aber der dieser Teilfolge schon nicht, somit kann auch
der der Gesamtfolge nicht existieren.

15.11.2004, 16:25

Gast

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Zitat:

Original von Sinus_
Das ist mir schon klar, aber die Folge

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n} \end{eqnarray*}$ geht ja eben nicht gegen 1, sondern wie ich in der Vorlesung gelernt habe gegen e. Mir ist einfach nicht ersichtlich, warum dann

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n} }) ^{n} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n^2} ) ^{n} \end{eqnarray*}$ gegen andere Werte gehen soll.

Wo ist mein Fehler?

Wogegen konvergieren denn:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{\sqrt{n} }) ^{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n^2} ) ^{n^2} \end{eqnarray*}$

Damit sollte Dir dann auch das Verhalten von

$\begin{eqnarray*} \left((1+\frac{1}{\sqrt{n} }) ^{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n^2} ) ^{n^2}} \end{eqnarray*}$

klar sein...

15.11.2004, 17:14

Sinus

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Ok, jetzt hab ich's glaub ich:

Beide konvergieren gegen e und folglich dann - in einem zweiten Schritt - gegen unendlich (also gar nicht) bzw. gegen 1.

jetzt, da ich bei der einen den Grenzwert bestimmt habe, muss ich dann auch noch zeigen, dass sie monoton ist um behaupten zu können, dass die konvergiert?

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