Dezimalbruchzerlegung

15.11.2004, 12:47	morgoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalbruchzerlegung Hallo allerseits, ich habe folgendes Problem: Ich war letzte Woche krank und muss aber morgen ins Proseminar gehen. Und ein Beispiel ist mir ein Buch mit sieben Siegeln: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \notin \mathbb Q. \end{eqnarray}$ Beschreiben Sie wie man zu den einzelnen Stellen der Dezimalbruchentwicklung von $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \end{eqnarray}$ kommt. Zeigen Sie, dass diese mit 2,44 beginnt. Nun habe ich aber keine Ahnung was eine Dezimalbruchentwicklung ist und habe weder im Skriptum noch sonstwo eine schlüssige Erklärung gefunden. Zwar habe ich in Erfahrung bringen, können das rationale Zahlen eine endlich oder periodische Deizmalbruchzerlegung haben und folglich die $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \end{eqnarray}$ eine unendlich Zerlegung haben sollte, aber dazu müsste ich wissen wie diese überhaupt aussieht. Bitte, ich würde mir viel leichter tun wenn ihr mir das mit einem Beispiel erklären könntet (z.B. mit einer Primzahlwurzel).
15.11.2004, 12:56	t0rb3n	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalbruchzerlegung die dezimalbruchentwicklung ist die folge der zahlen, die du beim errechnen $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \end{eqnarray}$ als näherung erhälst. du musst also die wurzel berechnen und zeigen das die ersten 3 stellen 2,44 sind. das geht mit ner intervallschachtelung, is aber glaub ich nich der beste und einfachste weg. und das es nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ liegt kannste durch widerspruch zeigen, der entsteht, wenn man annimmt $\begin{eqnarray} \sqrt{6} =a/b \end{eqnarray}$ , wobei a/b schon maximal gekürzt ist. also so funktioniert es mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und ich denk mal für die 6 dürft es analog funktionieren. stefan
15.11.2004, 15:49	morgoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Also der eine Teil war dann doch zu lösen (glaub ich halt): $\begin{eqnarray} 2\leq \sqrt{6} \leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,4\leq \sqrt{6} \leq 2,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,44\leq \sqrt{6} \leq 2,45 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,449\leq \sqrt{6} \leq 2,450 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,4494\leq \ \sqrt{6} \leq 2,4495 \end{eqnarray}$ Soweit ich es verstanden habe, ist das eine Dezimalbruchzerlegung und nach dem letzten Schritt ist klar das $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \end{eqnarray}$ =2,44... . Aber Probleme macht der andere Teil: $\begin{eqnarray} \sqrt{6} \notin \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Ich habe versucht den Beweis analog zu dem für $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ zu führen dabei aber Schiffbruch erlitten. Sei $\begin{eqnarray} \sqrt{6} = \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ der bestgekürzte Bruch. Dann gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{6} = \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6a^{2} = b^{2} \end{eqnarray}$ Also ist b gerade und es gilt $\begin{eqnarray} b=2n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6a^{2} = (2n)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6a^{2} = 4n^{2} \end{eqnarray}$ aber aus $\begin{eqnarray} a^{2} = \frac{4}{6}n^{2} \end{eqnarray}$ folgt nicht dass auch a gerade ist. Edit Rechtschreibung Ich möchte mich nicht unhöflich vordrängen, aber ich bräuchte das Beispiel schon morgen. Es wäre daher sehr nett, wenn mir noch einmal jemand helfen könnte. Ich glaube der erste Teil ist richtig, aber es könnte sein dass er formal nicht passt (bitte mich darauf hinweisen) und bei dem Beweis habe ich zwar t0rb3n Vorschlag erprobt, aber er funktioniert leider nicht. edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte unterlasse solche Pushposts, auch wenn es dringend ist! Für viele sind die Aufgaben dringend ... (MSS)
15.11.2004, 20:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn du es bis morgen brauchst, sei bitte trotzdem etwas geduldiger Das oben ist schon ok, da gibts nicht viel formales ... Eine Dezimalbruchdarstellung ist einfach die Darstellung einer Zahl mithilfe von Nachkommastellen, so wie jeder es aus dem Alltag kennt. So ist die Dezimalbruchdarstellung von $\begin{eqnarray} \frac{2}{5} \end{eqnarray}$ z.B. $\begin{eqnarray} 0,4 \end{eqnarray}$ . Die von $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 0,333333... \end{eqnarray}$ bzw. mit Periode: $\begin{eqnarray} 0,\overline{3} \end{eqnarray}$ . Die von pi ist unendlich und nichtperiodisch (pi ist irrational): $\begin{eqnarray} 3,14159265... \end{eqnarray}$ . Ich denke, was eine Dezimalbruchdarstellung ist, dürfte nun klar sein. Bei dem Beweis: Du kannst nicht nur folgern, dass b durch 2 teilbar ist, sondern auch, dass b durch 6 teilbar ist!! Das dürfte helfen ...
15.11.2004, 21:10	morgoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung ist normalerweise das nicht mein Stil. Danke damit ist es klar. Tut mir leid ich war voreilig. Mir ist es gestern mit dem Hinweis dass ich di Teilbarkeit durch 6 folgern kann logisch erschienen und ich wollte den letzten Schritt heute machen. Aber nun stehe ich vor zwei neuen Problemen: Warum ist die Teilbarkeit durch 6 gegeben? Und viel wichtiger: Warum sollte der Beweis dann für [latex]\sqrt{4} [\latex] nicht funktionieren? edit: Doppelpost zusammengefügt (MSS)
16.11.2004, 10:49	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
das hat was mit Primzahlzerlegung zu tun. Wenn da steht: 6a² = b², dann ist b² durch 2 und durch 3 teilbar, also ist auch b durch 2 und 3 teilbar (dafür sollte man einen kleinen Nebenbeweis führen). b ist also durch 6 teilbar, demzufolge ist b² durch 6² teilbar. Der Rest geht eigentlich wie bei Wurzel(2). Wenn du das ganze mit Wurzel(4) versuchst, hakt der Beweis.
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16.11.2004, 10:59	morgoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Danke für die schelle Hilfe. damit bin (hoffentlich) auch vor allen fiesen Zwischenfragen gefeit. mfg Michael
18.11.2004, 15:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem durch 2 und durch 3 teilbar müsste man aber auch erstmal zeigen ... Um zu beweisen, dass b nicht durch 6 teilbar wäre, dann wäre b darstellbar mit $\begin{eqnarray} b=6n+r\ \ \ \ 1\leq r\leq 5 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} b^2=(6n+r)^2=36n^2+12nr+r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 36n^2+12nr \end{eqnarray}$ ist trivialerweise durch 6 teilbar. Für r probierst du dann einfach r=1 bis r=5 durch und stellst fest, dass b² dann ja gar nicht durch 6 teilbar wäre. Widerspruch.

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