Goniometrische Gleichungen

08.04.2007, 13:08

tigernadi

Goniometrische Gleichungen

Hallo

ich soll bei folgenden Gleichungen die Lösungsmenge bestimmen, komme aber nicht wirklich auf die Lösung. Kann mir bitte einer helfen?

a) sin2x + tanx - 1=0

b) 3(arctanx)^2 - 4Pi*(arctanx) + Pi^2=0

c) 2tanhx=1

ModEdit: Titel geändert! Bitte einen aussagekräftigeren Titel wählen!! mY+

08.04.2007, 13:13

Calvin

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Was hast du denn schon probiert? Bei der zweiten hilft z.B. die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\arctan{x} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten würde ich erstmal $\begin{eqnarray*} \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$ ersetzen. Danach schauen, ob man mit Additionstheoremen etwas zusammenfassen kann, so dass nur noch sin oder nur noch cos vorhanden sind.

Und wo genau liegt das Problem bei der dritten Aufgabe?

08.04.2007, 13:44

tigernadi

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zu a) sin 2x= 2sinxcosx

das ergbit dann: 2sinx cos x + sinx/cosx = 2
und dann weiß ich nicht mehr weiter

zu b) hab das mit u= arctanx versucht, dann kommt das raus:
3u^2 - 4Piu + pi^2=0
u^2 - 4/3piu + pi^2/3=0
u1/2 = 2/3 +- Wurzel (4/9 pi - pi^2/3)

so und dann stört mich das pi, ich weiß dann nicht wie ich weiter machen soll

zu c)
hab sie rausbekommen, hatte mich verlesen

08.04.2007, 13:57

tigerbine

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Hallo tigernadi, Wink

könntest Du bitte versuchen, den Formeleditor zu benutzen. Danke.

$\begin{eqnarray*} 3 \arctan^2(x) - 4\pi \cdot \arctan(x) + \pi^2=0 \end{eqnarray*}$

Calvin's Substitutionsvorschlag führt auf eine quadratische Gleichung in u:

$\begin{eqnarray*} 3u^2-4\pi \cdot u + \pi^2=0 \end{eqnarray*}$

Mit einer Lösungsformel erhält man:

$\begin{eqnarray*} u_1=\frac{4 + \sqrt{16-12\pi^2}}{6} \\ u_2 = \frac{4 - \sqrt{16-12\pi^2}}{6} \end{eqnarray*}$

Das Pi ist doch nur eine Zahl, also keine Angst davor Augenzwinkern

jetzt muss die Substitution eben rückgängig gemacht werden. Mit Quote/Zitat kannst Du dir mal den latex Code anschauen.

08.04.2007, 15:34

tigernadi

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hallo tigerbine,

danke für deine schnelle antwort. ja ich werde in zukunpft den formeleditor benutzen, hab dide aufgabe jetztverstaden. habe aber noch nicht die a) verstanden:

$\begin{eqnarray*} sin 2x + tan x -2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin2x= 2sinx cosx \end{eqnarray*}$
also ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} 2sinx cosx + \frac{sin x}{cos x} =2 \end{eqnarray*}$

so dann weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll.

08.04.2007, 15:44

tigerbine

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Wo kommt die -2 her? Oben war es noch -1? verwirrt

08.04.2007, 16:54

tigernadi

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oh sorry da hab ich mich oben verschrieben. die -2 stimmen.

09.04.2007, 01:20

mYthos

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Titel geändert und *verschoben*

mY+

09.04.2007, 16:06

therisen

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Zitat:

Original von tigernadi
danke für deine schnelle antwort. ja ich werde in zukunpft den formeleditor benutzen, hab dide aufgabe jetztverstaden. habe aber noch nicht die a) verstanden:

$\begin{eqnarray*} sin 2x + tan x -2 = 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} \sin 2x = 2\sin x\cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} \end{eqnarray*}$ . Die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\tan x \end{eqnarray*}$ bietet sich also an. Als einzige Lösung erhält man sodann $\begin{eqnarray*} u=1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x = \arctan(1) = \dots \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

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