Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Hi!

Die ersten Tage des Sommersemesters liegen nun hinter uns, und wir haben nun eine Vorlesung zur Funktionentheorie gehabt und gleich Übungsaufgaben bekommen. Bräuchte mal Hilfe oder Tipps:

Beweise für alle :



und für alle mit



Nun ein bisschen was auch zum rechnen. Wir sollen alle bestimmen mit

a)

b)

c)

d)

Bei a) habe ich raus:
und bei b)

Ist es sinnvoll bei c) und d) ersteinmal aumzuschreiben, d.h. ??? Sind die Ergebnisse bis hier richtig, und wie mache ich bei c) und d) weiter.

Hat jemand ein Tipp für den ersten Teil der Aufgabe???

Vielen vielen Dank und noch frohe Ostern Wink
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Hallo! Für die Abschätzung mal Folgendes:

Da , genügt es für den ersten Teil einmal



zu zeigen. Und dies ist eine direkte Folge aus der Dreiecksungleichung:



Anschliessend für . Hier hilft wieder die Reihendefinition:



Hoffe, dass das schon mal was bringt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Zitat:
Original von Frooke
Da




Meinst du ?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
@Frooke: Danke für die ausführliche Antwort:

Also: die zweite Ungleichung



Richtig?

Bei der ersten stehe ich leider noch aufm Schlauch. Du meinst ja sicherlich . Wäre es möglich mit der Dreiecksungleichung zu zeigen, dass



oder nutzt mir die Beziehung etwas?

Hat noch jemand Hinweise für den übrigen Teil der Aufgabe??? Wink
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Zitat:
Original von Leopold
Meinst du ?


Ja natürlich, entschuldigt bitte.

Zitat:
Original von vektorraum
Also: die zweite Ungleichung



Richtig?


Es stimmt, was Du schreibst, aber diese Ungleichung ist eben noch zu zeigen (also die Umformung habe ich einfach unterschlagen...) Du könntest es so machen:



Dies ist der linke Teil der Ungleichung, der rechte lautet:



Nun verschiebst Du den Index in der Summe:



Zu zeigen ist nur noch

und das ist ja einfach...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den anderen:

a) Das Ergebnis stimmt nicht, weil ist, daher muss es lauten:

-----------------------------
EDIT: Oh, rechts fehlte noch eine 2! Also gehört es so:
... weil ist,
-----------------------------



b) richtig

c)
Ja, der Ansatz ist gut, wir erhalten







Wir substituieren und erhalten eine quadratische Gleichung in u; die Lösungen ergeben je eine Exponentialgleichung, welche logarithmiert wird ...

d)
Analog, wir verwenden



damit entsteht wieder eine quadratische Gleichung, deren Lösung wegen der komplexen Zahlen unter der Wurzel etwas langwieriger ist.

mY+
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Ich habe den Thread nicht bis ins Detail gelesen, aber da stimmt was nicht.

Zitat:
Original von mYthos
a) Das Ergebnis stimmt nicht, weil ist, daher muss es lauten:


Entweder muss links vom Gleichheitszeichen -1 stehen oder du machst ein Ungleichheitszeichen hin.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Zitat:
Original von Frooke

und das ist ja einfach...


Hi!

Danke für deine ausführliche Antwort. Ist das nicht eine einfache Folgerung aus



??? Stimmt den der erste Teil des Beweises der Ungleichung als direkte Folgerung der Dreiecksungleichung???

Wie könnte man die andere Ungleichung lösen???

@mythos: Danke für die Hinweise, werde es mal durchrechnen Wink
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Dein Argument passt. Meinst Du diese Ungleichung?

mit



Setze



Zu zeigen ist



Und es ist

vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
@Frooke: Vielen Dank für deine Hilfe. Hab die Schritte nachvollziehen können und jetzt hoffentlich den richtigen Beweis für alle Ungleichungen. Eine Frage habe ich aber noch: Wo fließt in dem letzten Beweis die Voraussetzung ein, dass der Betrag der komplexen Zahl kleiner als eins ist???

@mythos: Vielen Dank auch für deine Hilfe. Mir ist aber bei erstens nicht so ganz klar, was daran falsch ist. Ich habe doch dastehen:

Logarithmireren ergibt

. Ich habe nachgelesen und sehe, dass

ist. Meinst du das??? Und dann muss ich noch die rechte Seite bearbeiten.

Bei der dritten und vierten. Ich bin jetzt soweit, dass also dasteht:

mit der Substitution von dir angegeben erhalte ich dann

und damit

. Dann ist

.

Rücksubstituieren ergibt doch dann beim ersten Mal



Bei der zweiten Lösung folgt sofort z=. Richtig???

Bei der letzten Aufgabe: Ansatz ist wie oben und ich erhalte

und damit eine komplizierte Formel für die quadratische Lösungsformel. Bis hierhin richtig? Danke nochmal für die Hilfe Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calvin
@mYthos

Ich habe den Thread nicht bis ins Detail gelesen, aber da stimmt was nicht.

Zitat:
Original von mYthos
a) Das Ergebnis stimmt nicht, weil ist, daher muss es lauten:


Entweder muss links vom Gleichheitszeichen -1 stehen oder du machst ein Ungleichheitszeichen hin.


Es gibt noch eine dritte Möglichkeit Big Laugh : Rechts habe ich 2 vergessen, sorry!
Sh. EDIT!



Thx!

@VR: Sehe mir das später noch an!

mY+
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Ich habe dann gestern noch gerechnet und jetzt folgendes raus bei der vierten:



Korrekt??? Oder muss ich das noch vereinfachen?? Danke nochmal fürs drüberschauen Wink
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Ich denke, dass das hier scheitert für |z|>1:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nun bestimmen willst, musst du die -2 zuerst in die Polarform bringen: bzw. . Daher hast du im Exponenten und dies geht ebenfalls in den Zählindex mit ein.

Dein Lösungsweg bei c ist größtenteils richtig, jedoch führst du die Division durch i nicht aus! Es gilt





Eine Lösung ist dann ...

d)

Bis hierhin richtig:



Aufgelöst ergibt das bei mir jedoch



mY+
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@frooke: ist klar, hab ich auch gemerkt beim nachrechnen Augenzwinkern

@mythos: hab das jetzt mal auf verschiedene arten versucht zu lösen, werd aber wohl noch ein paar aufgaben in der art und weise rechnen müssen. werd zur not die fragen wieder ins board stellen.
hab bei der zweiten dann auch noch durch i geteilt und auch die lösung von dir raus.
bei der anderen: kann sein dass ich mich verrechnet habe - danke für den hinweis Wink
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