komplexe gleichungen

08.04.2007, 15:23

gast1234

komplexe gleichungen

Wir haben jetzt grade mit der Vorlesung begonnen und leider komm ich schon bei der ersten Aufgabe des Übungszettels in schleudern, ich hoffe mir kann jemand erklären was bei folgenden aufgaben zu tun ist (am liebsten mit beispielen bzw. die folgenden aufgaben) Riesen dank schonmal!

1. Aufgabe: Bringen sie die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x+yi mit x,y€R

a) (1). (1+i)^n (2). (3+2i)(2-i)/2i+1 (3). 1/4+3i (4). (2+i)(3-i)

b) Berechnen sie alle Lösungen der komplexen Gleichung: z^6 = -64

Ich weiß irgendwie nicht so recht, was bei komplexen Zahlen anders läuft. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen! danke und ganz liebe grüße!

08.04.2007, 15:34

marie23

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RE: komplexe gleichungen
hey mathegefährtin... frohe ostern nach nebenann! also meine mitbewohnerin und ich kommen einfach nicht weiter! wär super, wenn uns jemand helfen kann! dankeeeeeschöööön!

08.04.2007, 16:02

WebFritzi

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Was habt ihr denn bereits?

08.04.2007, 16:12

marie23

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eigentlich noch nichts.. hoffen noch die aufgaben durch durch rechenbeispiele zu verstehen, aus den vorlesungsskripten werden wir nicht schlau und literatur hat er uns noch keine gegeben, hast du oder irgendjemand einen link parat, wo wir uns mal durcharbeiten können?

08.04.2007, 16:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von marie23
aus den vorlesungsskripten werden wir nicht schlau

Dann versucht das! Komplexe Zahlen sind eigentlich voll billig. Jede komplexe Zahl hat die Form a + bi mit reellen Zahlen a und b. Das i ist die sog. imaginäre Einheit. Für diese gilt i² = -1. Mehr ist nicht zu sagen. Die Rechengesetze sind (eben bis auf i² = -1) genau die gleichen wie die der reellen Zahlen.

Versucht euch doch einfach mal an Aufg. (a.1). Berechnet (1+i)², (1+i)³ und vielleicht noch (1+i)^4. Fällt dabei was auf?

08.04.2007, 18:04

vektorraum

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RE: komplexe gleichungen

Zitat:

Original von gast1234
Wir haben jetzt grade mit der Vorlesung begonnen und leider komm ich schon bei der ersten Aufgabe des Übungszettels in schleudern, ich hoffe mir kann jemand erklären was bei folgenden aufgaben zu tun ist (am liebsten mit beispielen bzw. die folgenden aufgaben) Riesen dank schonmal!

1. Aufgabe: Bringen sie die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x+yi mit x,y€R

a) (1). (1+i)^n (2). (3+2i)(2-i)/2i+1 (3). 1/4+3i (4). (2+i)(3-i)

b) Berechnen sie alle Lösungen der komplexen Gleichung: z^6 = -64

Ich weiß irgendwie nicht so recht, was bei komplexen Zahlen anders läuft. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen! danke und ganz liebe grüße!

Hi!

Kennt ihr denn alle Darstellungsarten für komplexe Zahlen? Insbesondere Euler- und Polarkoordinatenform? Dann wird die erste Aufgabe besonders einfach. Oder du nimmst die allgemeine binomische Formel
$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} ~a^{n-k}~b^k,~n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zu empfehlen - schreibe ich Eulerform. Zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} (1-i)^{200}=(\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i})^{200}=2^{100}e^{-50\pi i}=2^{100} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten erweitere einfach mal mit dem Nenner.
Dritte sollte klar sein, vierte mal ausmultiplizieren!

Bei Potenzen und Wurzeln wende die Formeln von Moivre an. Zum Beispiel: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^8=1 \end{eqnarray*}$ hat acht Lösungen, da für $\begin{eqnarray*} z^n=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} z_k=\cos \cfrac{k}{n} 2\pi+i \cdot \sin \cfrac{k}{n} ~2\pi,~k=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$

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