Matrix über Modulo Körper F3 ohne Eigenwerte

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Pejosh2001 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix über Modulo Körper F3 ohne Eigenwerte
Hallo...ich bin es mal wieder...wir sollen eine Matrix finden, die keine Eigenwerte hat.

Ich dachte mir..dass kann ja nicht so schwer sein...aber bisher hab ich vergebens eine gesucht...nach 3 misglückten konkreten Beispielen, hab ich es dann allgemein versucht...im Endeffekt läuft es auf folgende Formel hinaus, die über keine Lösung haben darf:



Dann kann man ja einfach die 3 möglichen Eigenwerte einsetzen und hoffen, dass bei einem Wert für das charakteristische Polynom nicht die Lösung 0 ergibt.

Was soll ich sagen? In einem Fall kommt immer 0 raus.

Mache ich irgendwas falsch?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix über Modulo Körper F3 ohne Eigenwerte
Also du hast eine 3x3 Matrix mit Einträgen aus .

Das charakteristische Polynom ist ein Polynom dritten Grades, dass wir ruhig als normiert annehmen dürfen.



Ich würde für Elemente aus dem Körper Kleinbuchstaben Verwenden, da man sie sonst zu leicht mit Matrizen verwechselt. Jetzt hast Du für x ja nur 3 Möglichkeiten. Es soll also gelten:







Was ergeben sich denn daraus für Bedingungen für b,c,d?
Pejosh2001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja...so hab ich das ja gemacht...^^...ich teste es aber nochmal...

Aus deiner ersten Gleichung folgt, dass . Aus der zweiten folgt . Aus der dritten folgt .

Also...mal angenommen d ist gleich 1, dann folgt ja, dass und gelten muss. Dann sag ich mal sei c=2 und b=1.

erfüllt

erfüllt

Damit scheint es zu gehen.

Dann komme ich aber zu dem Problem, dass ich nicht weiß, wie die Matrix aussehen soll...angenommen es ist eine Diagonalmatrix...



Daraus folgt aber, dass gilt. Außerdem und .

Also könnte man auch folgende Gleichungen aufstellen:







Aber wie soll ich das denn lösen?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch jetzt schon herausgefunden, dass für d=1, c=2, b=1 alle Bedingungen erfüllt sind.

Bei deiner Matrix ist jetzt:

b = e + f + g
c = eg + fg + ef ( ohne minus würd ich sagen )
d = efg

du musst doch e,f,g nur so bestimmen, dass gilt:

e+f+g = b = 1
eg + fg + ef = c = 2
efg = d = 1

und dass halt immer modulo 3.

ist doch viel einfacher als dein großes System voller Bedingungen oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix über Modulo Körper F3 ohne Eigenwerte
Zuerst mal die Potenzen umrechnen.







Dann folgt aus der ersten Gleichung:



Also entweder:




Fallunterscheidung: d=1





**************************************




Welche Möglichkeiten ergeben sich daraus?








Wie sieht es mit der zweiten Gleichung aus?





Was ergibt sich also hieraus?








Sollte es also eine Mögliche Kombination geben?











Also ist damit eine Lösung gefunden.
Pejosh2001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte ja auch, dass es ganz leicht sei...erstmal zu sunwater:

Es folgt dann:



Nun gilt aber keine andere Gleichung mehr, da ebenfalls gelten soll, dass und . In diesem Fall würde aber bei beidem 0 herauskommen.

Also fällt diese Lösung weg.

Wenn ich jetzt dem Vorschlag von Tigerbine folge, dass und gilt, komme ich zu einem ähnlichen Problem. Dann folgt nämlich wieder aus



Damit ist die erste Gleichung noch erfüllbar, aber die zweite Gleichung nicht mehr, denn dann folgt



Wobei da ja eigentlich 2 rauskommen soll, wenn eine Diagonalmatrix ist. Alles andere wird nur noch komplizierter.

Oder hab ich jetzt irgendeinen Denkfehler drin?
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn der Versuch, das angegebene charakt. Polynom einer Diagonalmatrix zuzuweisen sinnvoll? Ich denke nicht.
Pejosh2001 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wird es noch komplizierter...den Ansatz über eine ganze allgemeine Matrix hab ich schon gemacht und dachte mir, dass ich da eh keine Lösung heraus bekomme. Aber jetzt versuche ich es gleich doch nochmal...danke...
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

denk dran, dass du im F3 rechnest...

wenn efg = 1 ist, heißt das nicht, dass e=f=g=1 gilt.

was ist denn im F3 wenn du 2*2 rechnest?
Pejosh2001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja eben...es gibt dann doch noch mehr Möglichkeiten...hab jetzt stundenlang ohne Ergebnis rumgerechnet...die Bedingungen sind erfüllt, bringe ich es in die Matrix...ist es falsch...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch nicht so schwer. tigerbine hat doch ein mögliches Polynom ohne Nullstellen schon angegeben.





Und jetzt muß man halt ein bißchen herumprobieren, bis man dieses Polynom als Determinante bekommt. Ich habe es mit



hinbekommen. Was ist also ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Zunge

Danke, endlich hat einer den Hinweis erkannt. (Bedenke 2 = -1, zumindest hier Augenzwinkern )
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