Eindeutigkeit der Darstellung komplexer Zahlen

08.04.2007, 15:25

vektorraum

Eindeutigkeit der Darstellung komplexer Zahlen

Hi! Wir haben zu zeigen: jedes $\begin{eqnarray*} z\in S^1\backslash\{-1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S^1:=\{z\in \mathbb C|~|z|=1\} \end{eqnarray*}$ lässt sich eindeutig in der Gestalt

$\begin{eqnarray*} z=\cfrac{1+i\lambda}{1-i\lambda}=\cfrac{1-\lambda^2}{1+\lambda^2}+\cfrac{2\lambda}{1+\lambda^2}i \end{eqnarray*}$

mit einem $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ darstellen.

Leider habe ich keine Idee wie ich das beweisen könnte. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Kann ich den Beweis so führen: Angenommen, zwei dieser Elemente aus $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ lassen sich in der Form darstellen, und dann zu einem Widerspruch führen?

Dankeschön Wink

08.04.2007, 15:51

WebFritzi

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Na, als allererstes musst du zeigen, dass der Betrag immer 1 ist. Tja und dann Injektivität und Surjektivität.

Zitat:

Angenommen, zwei dieser Elemente aus $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ lassen sich in der Form darstellen, und dann zu einem Widerspruch führen?

Wozu Widerspruch? Du sollst ja gerade zeigen, dass sich jedes Element aus S^1 so darstellen lässt. Also lassen sich auch 2 davon so darstellen.

Finde die Umkehrfunktion! Die bringt dich weiter...

08.04.2007, 17:02

Leopold

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Zum besseren Verständnis des Hintergrundes:

Betrachte in einem reellen kartesischen $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem für einen reellen Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Schar der Geraden

$\begin{eqnarray*} g_{\lambda}: \ \ x = 1 - \lambda y \end{eqnarray*}$

Alle Geraden gehen durch den Punkt $\begin{eqnarray*} E = (1,0) \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die reellen Zahlen von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ durchläuft, dreht sich die Gerade einmal aus der horizontalen Lage um $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ gegen den Uhrzeigersinn. Die horizontale Lage selbst wird dabei nie eingenommen (das entspricht gerade dem Grenzfall $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm \infty \end{eqnarray*}$ ). Jede Gerade $\begin{eqnarray*} g_{\lambda} \end{eqnarray*}$ schneidet den Einheitskreis

$\begin{eqnarray*} k: \ \ x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

daher außer in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ in genau einem weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} P_{\lambda} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ fällt dieser mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zusammen - $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ ist Tangente). Die geometrische Anschauung zeigt: Jeder Kreispunkt außer $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} P_{\lambda} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du nun die Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} g_{\lambda} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ berechnest (einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der Geradengleichung in die Kreisgleichung einsetzen), liefert dir die Rechnung die in der Aufgabe angegebene Formel:

$\begin{eqnarray*} P_{\lambda} = \left( \frac{1 - \lambda^2}{1 + \lambda^2} \, , \, \frac{2 \lambda}{1 + \lambda^2} \right) \end{eqnarray*}$

08.04.2007, 17:47

vektorraum

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Vielen dank Leopold für die ausführliche Erklärung. Aber ich habe da noch einige Fragen.
Wie kommst du darauf, dass du dir eine Gerade nimmst und diese dann so zu sagen den Kreis abtasten lässt??? Wieso ergibt sich gerade aus den Koordinaten des Schnittpunktes die oben angegebene Gleichung.
Habe leider auch ein Problem auf den ersten Teil der Äquivalenz zu kommen. Wie folgt aus der Form für den Schnittpunkt die erste Gleichung also?

Hab auch selbst alles nachgerechnet und denke verstanden was du meinst - würde mich über eine Antwort freuen Wink

08.04.2007, 18:48

Leopold

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Zitat:

Original von vektorraum
Wie kommst du darauf, dass du dir eine Gerade nimmst und diese dann so zu sagen den Kreis abtasten lässt???

Das ist keine spontane Intuition, sondern Schöpfen aus dem Erfahrungsschatz eines Mathematikers. Eine Möglichkeit, die indischen Formeln für die pythagoreischen Tripel herzuleiten, geht genau über diese Parameterdarstellung des Einheitskreises. Und das wußte ich eben.

Im übrigen gefällt mir deine Formulierung "den Kreis abtasten lassen". Genau so muß man sich das vorstellen. Freude

Mein Beitrag sollte denn auch nur dazu dienen, dir den geometrischen Hintergrund der ganzen Angelegenheit aufzuzeigen. Ansonsten beachte WebFritzis Hinweise.

08.04.2007, 19:14

vektorraum

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OK. Aber da stellt sich mir die Frage, warum ich zeigen soll, dass der Betrag immer eins ist. Ist das nicht eine der Voraussetzungen an diese komplexen Zahlen? Und dann zur Umkehrfunktion. Muss ich mir die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(z)=\cfrac{1+i\lambda}{1-i\lambda} \end{eqnarray*}$ nehmen, oder welche??? Man weiß ja dann, wenn eine Umkehrfunktion existiert ist das ganze auch bijektiv, also auch eindeutig. Mir ist da jetzt der Zusammenhang noch nicht so klar, welche Funktion ich betrachten soll. Würde mich nochmal über Hilfe freuen!

08.04.2007, 19:45

WebFritzi

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Setze

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}\to \mathcal{S}_1\setminus\{-1\},\;\; f(t)=\cfrac{1+it}{1-it}\;. \end{eqnarray*}$

Zeige:
1.) |f(t)| = 1 für alle t aus IR.
2.) Aus f(t1) = f(t2) folgt t1 = t2.
3.) Zu jedem z aus S^1\{-1} gibt es ein t aus IR, so dass f(t) = z.

In 2.) und 3.) wirst du automatisch auf das Problem stoßen, eine Umkehrfunktion zu finden.

08.04.2007, 20:43

vektorraum

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@webfritzi: Danke für deine Antwort. Ich habe das jetzt mal probiert.

Mein Versuch zu 1) Wir haben zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |f(t)|=1~\forall~t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Also:

$\begin{eqnarray*} |f(t)|=\left|\cfrac{1+it}{1-it}\right|=|z|=1 \end{eqnarray*}$

Das zweite Gleichheitszeichen folgt doch aus der Kenntnis der Umkehrfunktion, oder? Das letzte dann doch aus der Voraussetzung an die Elemente von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ ???

Injektivität ist klar - habe ich einfach nur nachrechnen müssen.

Bei der Surjektivität: Ich habe mal versucht die Umkehrfunktion zu finden. Dazu brauche ich doch nur zu betrachten:

$\begin{eqnarray*} f(t)=z=\cfrac{1+it}{1-it} \end{eqnarray*}$

Ein wenig umstellen liefert mir dann: $\begin{eqnarray*} g(t)=\cfrac{1-z}{-iz-i} \end{eqnarray*}$

Reicht die Angabe einer Umkehrfunktion bzw. was müsste ich jetzt noch tun. Du hast sicherlich der Einfachheithalber $\begin{eqnarray*} t=\lambda \end{eqnarray*}$ gesetzt? Welche Beziehung besteht nun aber zwischen den beiden oben angegebenen Gleichungen im Ausgangspost. Bloßes nachrechnen hilft ja nicht weiter, oder?

Danke für die Hilfe!

09.04.2007, 01:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von vektorraum
Mein Versuch zu 1) Wir haben zu zeigen: $\begin{eqnarray*} |f(t)|=1~\forall~t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Also:

$\begin{eqnarray*} |f(t)|=\left|\cfrac{1+it}{1-it}\right|=|z|=1 \end{eqnarray*}$

Das zweite Gleichheitszeichen folgt doch aus der Kenntnis der Umkehrfunktion, oder? Das letzte dann doch aus der Voraussetzung an die Elemente von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ ???

Hä? Nö. Mit der Umkehrfunktion hat das erstmal gar nichts zu tun. Du musst einfach rechnen und dadurch nachweisen, dass der Betrag eins ist.

Zitat:

Original von vektorraum
Bei der Surjektivität: Ich habe mal versucht die Umkehrfunktion zu finden. Dazu brauche ich doch nur zu betrachten:

$\begin{eqnarray*} f(t)=z=\cfrac{1+it}{1-it} \end{eqnarray*}$

Ein wenig umstellen liefert mir dann: $\begin{eqnarray*} g(t)=\cfrac{1-z}{-iz-i} \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion g konstant? Was ist z? Du musst mit der Wahl der Variablen aufpassen.

Zitat:

Original von vektorraum
Reicht die Angabe einer Umkehrfunktion bzw. was müsste ich jetzt noch tun.

Das hier musst du tun: "Sei z aus S^1. Setze t := g(z)." (g ist die Funktion von oben mit g(z) statt g(t)!). Zeige nun, dass f(t) = z ist.

Zitat:

Original von vektorraum
Du hast sicherlich der Einfachheithalber $\begin{eqnarray*} t=\lambda \end{eqnarray*}$ gesetzt?

Genau. Um nicht immer \lambda schreiben zu müssen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von vektorraum
Welche Beziehung besteht nun aber zwischen den beiden oben angegebenen Gleichungen im Ausgangspost. Bloßes nachrechnen hilft ja nicht weiter, oder?

Verstehe dich hier nicht...

09.04.2007, 09:26

Leopold

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Es ist noch nachweisen, daß für $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich $\begin{eqnarray*} t = g(z) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt (ich schreibe jetzt auch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ). Dazu empfiehlt es sich, den Ergebnisbruch mit dem konjugiert Komplexen $\begin{eqnarray*} \bar{z} + 1 \end{eqnarray*}$ zu erweitern. Beachte für $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray*}$ in kanonischer Form die Beziehungen

$\begin{eqnarray*} z \, \bar{z} = 1 \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung)

$\begin{eqnarray*} z + \bar{z} = 2x \, , \ \ \ z - \bar{z} = 2 \operatorname{i} y \end{eqnarray*}$ (allgemeingültig)

Auf die Umkehrformel kommst du aber auch mit dem geometrischen Ansatz aus meinem ersten Beitrag. Löse einfach die Geradengleichung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf. Wegen $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ kannst du folgendermaßen weiterrechnen:

$\begin{eqnarray*} t = \frac{1-x}{y} = \frac{1 - x^2}{y \, (1 + x)} = \frac{y^2}{y \, (1 + x)} = \frac{y}{1 + x} \end{eqnarray*}$

Mache dir noch Gedanken zu den verbotenen Nennern $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ . Am besten untersuchst du diese Fälle direkt.

09.04.2007, 19:05

vektorraum

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Hi @all: Danke für eure Antworten.

Also mir ist die Beziehung von den beiden oben angegebenen Gleichungen jetzt klar. Aber es hakt doch noch ein wenig.
Ich würde jetzt schreiben: Betrachten wir die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(t)=\cfrac{1+it}{1-it} \end{eqnarray*}$ .

Wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |f(t)|=1 \end{eqnarray*}$
Injektivität ist klar. Dann habe ich die Umkehrfunktion bestimmt in der Form

$\begin{eqnarray*} t=g(z)=\cfrac{1-z}{-iz-i} \end{eqnarray*}$

Die habe ich jetzt wie Leopold meinte (dank seiner Tipps konnte ich das auch umformen) umgeformt und bin auf den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} t=\cfrac{y}{1+x} \end{eqnarray*}$

gekommen. Ich soll ja jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(t)=z \end{eqnarray*}$ ist. Wie muss ich das denn nun letztendlich machen, und wie rechne ich nach das der Betrag immer eins ist. Sorry - hab es leider nicht richtig verstanden. Und was hat das mit den ersten Beitrag zu tun, in dem ich Schnittpunkt von Geraden und Kreis ausgerechnet habe?
Würde mich nochmal über eine Erklärung freuen Wink

11.04.2007, 22:16

vektorraum

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Hi!

Ich wollte mich nochmal auf den Thread melden. Danke an Leopold und Webfritzi. Hab jetzt alles hinbekommen. hab also gezeigt, dass die funktion injektiv und surjektiv ist. war eigentlich gar nicht so schwer, aber manchmal steht man halt echt aufm schlauch.

danke und bis zum nächsten thread Augenzwinkern

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