Konvergenz

15.11.2004, 17:05

Loki23

Konvergenz

Hi .. habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei a(n) eine reelle follge mit a(n) --> a $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Sei ferner $\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb N -->\mathbb N \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Geben sie einen
$\begin{eqnarray*} \epsilon - n(o) - \end{eqnarray*}$ Beweis dafür, dass dann auch die Folge b(n) = a( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (n)) gegen a konvergiert.

Wäre dankbar für ne kleine Hilfe smile

Greetz

15.11.2004, 18:19

JochenX

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ich will's dir mal anschaulich erklären:
zu jedem epsilon, das du wählst findest du ja ein n ab dem alle folgenwerte im epsilonstreifen um a liegen, okay?
also liegen nur endlich viele werte (a1-a{n-1}) außerhalb des epsilonstreifens..... (n kann natürlich sehr groß werden für betragsmäßig sehr kleine epsilons...).
und diese sind irgendwann "verbraucht", das heißt, etwas mathematischer ausgedrückt: es ex. max{ phi(i) | i ={1,...,n-1}}:=m.

nun kannst du dir hoffentlich gedanklich klar machen, dass dann ab m wieder alle folgenglieder im epsilonstreifen liegen....

so jetzt bist du dran: das ganze muss jetzt noch schön mathematisch aufgeschrieben werden.....
aber das solltest du jetzt schon alleine hinkriegen....

mfg jochen

15.11.2004, 21:01

Loki23

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Also der Grundgedanke ist mir jetzt klar, danke smile

ich muß folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \epsilon>0\ \ \exists\ \phi (n) \in \mathbb N :\mid a(n) - a \mid < \epsilon\ \ \forall\ n \geq \phi (n) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m = \max\ \phi (n) \end{eqnarray*}$

Aber ehrlich gesagt ist mir noch nicht ganz klar wie unglücklich

edit: latex-Code verbessert, du musst es zwischen die beiden "latex-Begrenzungen" schreiben:

code:
1:	[latex]...[/latex]

(MSS)

16.11.2004, 08:53

JochenX

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ohje, da mache ich fehler und keiner scheint's zu merken:
dein m musst du natürlich als maximum der { i | phi(i) ist in {1,...,n-1}} wählen und nicht andersrum; das ist eine endliche teilmenge (# davon ist n-1) von den natürlichen zahlen, also hat es ein maximum (beweis in der vorlesung sicher gehabt).

also ich würde den beweis so angehen:
[also die perfekte mathematische ausformulierung überlasse ich aber dir, ich will's dir ja nicht ganz vorkauen]
sei eps>0; wähle n0, so dass |an-a|<eps, für alle n>=n0 [n und n0 aus IN], das ist möglich da an gegen a konvergiert.
zz. für alle n aus IN > m (m maximum der oben beschriebenen menge, hier erwähnen, m ist sicher >= n0) |a(phi(n)) -a|<eps.
beweis durch widerspruch: existiere n1>m, mit |a(phi(n1))-a|!<eps ("nicht kleiner") => phi(n1)< n (okay?!) => n1 ist in der obigen menge (namen geben....) => m maximum, aber n1>m auch enthalten.... WIDERSPRUCH, also gibt es kein solches n1.

damit ist die konvergenz bewiesen.

okay soweit?
mfg jochen

17.11.2004, 13:27

Loki23

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Dank dir

(sry .. kam erst jetzt zum antworten )

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