Relation zur Halbordnung erweitern

08.04.2007, 18:28

Joystick

Relation zur Halbordnung erweitern

Aufgabe :

Erweitern Sie R = {(n,m) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Z × Z | m = n-2} zur kleinsten Halbordnung R' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R.

Hallöchen,

sitze gerade vor dieser Aufgabe und weiss nicht recht wie ich anfangen soll. Hab mir erstmal überlegt dass eine Halbordnung reflexiv, antisymetrisch und transitiv sein muss. R ist leider schon nicht reflexiv da m immer um 2 kleiner sein muss als n. Also gibt es wohl kein Tupel mit z.B. (1,1).
Wenn ich nun möchte dass R reflexiv wird, kann ich dann einfach noch die Bedingung m = n hinzufügen?

Gruß. Peter.

11.04.2007, 14:48

Mazze

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Du hast eine Menge R mit $\begin{eqnarray*} R \subseteq Z \times Z \end{eqnarray*}$ die einer gewissen Bildungsvorschrift gehorcht. In Deinem Fall ist es halt das

$\begin{eqnarray*} (n,m) \in R \Leftrightarrow n = m-2 \end{eqnarray*}$

Diese Relation ist jetzt keine Halbordnung, du sollst die Relation aber so erweitern das die kleinste Halbordnung R' entsteht die dieses R enthält, also das gilt:

$\begin{eqnarray*} R \subseteq R' \wedge R \subseteq R'' \Rightarrow R' \subseteq R'' \end{eqnarray*}$

Du hast 2 Sachen zu tun:

1. Die Relation R erweitern
2. Zeigen das Deine neue Relation die kleinst mögliche ist

Zitat:

Wenn ich nun möchte dass R reflexiv wird, kann ich dann einfach noch die Bedingung m = n hinzufügen

Wenn Du es veroderst ja, also etwas der Form

$\begin{eqnarray*} R' = \{(x,y) \in Z \times Z : x = y-2 \vee x = y\} \end{eqnarray*}$

Dann stellt sich aber die Frage ob das schon eine Halbordnung ist. Reflexiv ist die relation, antisymmetrisch ist auch klar aber transitiv? Überleg Dir das erstmal, vor allem überleg Dir was es heisst wenn

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in R, (y,z) \in R \wedge x \neq y,y \neq z, \end{eqnarray*}$

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