Ganzheitsring

08.04.2007, 21:44	jol2040	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzheitsring Und noch eine Algebra-Frage... Für eine primitive p-te Einheitswurzel $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ (p=2,3,4,5) sollen wir zeigen, dass der Ganzheitsring $\begin{eqnarray} \mathcal O_{K}=\mathbb Z[ \zeta] \end{eqnarray}$ ist. Für p=2 ist das ja klar. p=3. Es müsste ja sein: $\begin{eqnarray} \mathcal O_{K}\subset \mathbb Z[e^{(\frac{2}{3} \pi i)}] \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \mathcal O_{K} \end{eqnarray}$ ist ein Ring, der $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ enthält, $\begin{eqnarray} Z[ \zeta] \end{eqnarray}$ der kleinste Ring mit dieser Eigenschaft). Für die andere Richtung müsste man ja ein $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z[e^{(\frac{2}{3} \pi i)}] \end{eqnarray}$ nehmen und dann ein ganzes Polynom finden, dass dafür 0 wird. z müsste ja von der Form sein $\begin{eqnarray} a+be^{(\frac{2}{3} \pi i)}+ce^{(\frac{4}{3} \pi i)} \quad a,b,c\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Aber wie kommt man an dieses Polynom? Also der Versuch war zunächst, $\begin{eqnarray} be^{(\frac{2}{3} \pi i)}+ce^{(\frac{4}{3} \pi i)} \end{eqnarray}$ in die 3. Potenz zu erheben und dann weiter zu versuchen, die Wurzelterme durch potenzieren zu eleminieren. Aber die Terme verschwinden einfach nicht... $\begin{eqnarray} \quad \quad \end{eqnarray}$

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