Untergruppe und Normalteilereigenschaft

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Sinchen Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe und Normalteilereigenschaft
Sei eine Gruppe. Das Zentrum Z ist die Menge der Elemente von G, die mit allen anderen Gruppenelementen kommutieren, d.h.

Z(G):= {zG: für alle g G gilt g z = z g}.

Zeigen Sie, dass Z eine Untergruppe von G ist, die die Normalteilereigenschaft besitzt.

Könnt ihr mit der Aufgabe etwas anfangen? Also ich seh nur Bahnhof traurig
Zumal wir in der Vorlesung bisher nicht mal was über einen "Normalteiler" gehört haben X(

Hilfe..

Sinchen..
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist doch der erste Schritt, dir die Definiton eines Normalteilers anzuschauen.

Gruß vom Ben
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Normalteilereigenschaft von Z(G) zu zeigen ist sehr einfach. Kniffliger wird es bei der Untergruppe. Aber das ist auch nicht besonders schwer. Hinweis: für Gruppenelemente a und b gilt:

Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist immer hilfreich, sich zuerst einmal aufzuschreiben, was man überhaupt zeigen muss.





Für (1) muss man beispielsweise zeigen:



Bei (1.2) muss man insbesondere dann zeigen: . Dabei kann man annehmen, dass .

(2) ist durch die Voraussetzung quasie schon gelöst.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

zur Sicherheit eine Frage:

Zitat:
Sei G eine Gruppe. Dann heißt Z(G) : = {x € G | "Für alle" a € G: ax = xa} Das Zentrum von G.




Ist dieses x € G ein, wirklich nur ein fest gewähltes Element oder können diese auch mehrere sein, sofern sie mit allen anderen Elementen aus G kommutieren ?

edit: ok, ist schon geklärt.
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