Aufgabe: konvergente Folgen+ Grenzwertberechnung

15.11.2004, 22:41	Sonja	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe: konvergente Folgen+ Grenzwertberechnung Hi! Hab mir über folgende Aufgabe schon einige Gedanken gemacht und komme einfach nicht weiter. Hoffe, ihr könnt mir helfen. Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie, wann die durch folgende Ausdrücke definierte Folge an konvergiert und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert. A) an= 2n(n+1)/3+4n² B) an= ((-1) hoch n)n/ n+1 C) an= (-1) hoch n/3 hoch n- 2 hoch n D) an= 2n³-3n+1/3n³+2n²-1 Also, ich glaube, dass B undC nicht konvergieren, sondern divergieren, sondern divergieren, da -1 hoch n mal gegen 1 mal gegegen -1 geht. Bei A und D hab ich leider überhaupt keine Ahnung. Ich weiß ja, dass gelten muss: der Betrag von an-a ist kleiner als Epsilon. Wäre nett, wenn mir jmd. detailliert erklären könnte wie ich den Grenzwert berechne. Danke im Vorraus, ihr seid meine Rettung! Liebe Grüße Sonja
16.11.2004, 08:47	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe: konvergente Folgen+ Grenzwertberechnung kommt drauf an, ob du die einschlägigen Grenzwertregeln anwenden darfst. bei A) würde ich mal den Term durch n² kürzen und bei D) durch n³. Funktst? kleiner Tipp: Formeleditor verwenden. bei D) soll es vermutlich heißen: $\begin{eqnarray} a_n= \frac{2n^3 - 3n + 1}{3n^3 + 2n^2 - 1} \end{eqnarray}$
16.11.2004, 08:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du schreibst leider keine Klammern an den wichtigen Stellen, sodass man die Ausdrücke schwer entziffern kann (C. wird deswegen nicht behandelt). Bei gebrochen rationalen Ausdrücken dividierst du Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz (mit anderen Worten "gewaltsam" kürzen). Die Rechnung mit Epsilon geht davon aus, dass der Grenzwert a doch schon vermutet wird oder bekannt ist. Damit wird dieser schließlich bewiesen. $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2n(n + 1)}{3 + 4n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2n^2 + 2n}{4n^2 + 3} \end{eqnarray}$ nun durch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ dividieren $\begin{eqnarray} a_n = \frac{2 + \frac{2}{n}}{4 + \frac{3}{n^2}} \end{eqnarray}$ Alle Teilbrüche mit konstantem Zähler und Potenzen von n im Nenner gehen gegen Null, wir wenden die Grenzwertsätze an. Daher ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{n}}{4 + \frac{3}{n^2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Bei D) verfährst du ebenso. Wenn die Folge alterniert, d.h. die Folgenglieder ständig ihr Vorzeichen wechseln, ist dies noch kein Grund für die Divergenz. Die Folge könnte ja eine Nullfolge sein (den Grenzwert 0 haben). Bei B) ist dies allerdings nicht der Fall, denn es gibt zwei Häufungspunkte +1 und -1 ( $\begin{eqnarray} \frac{n}{n + 1} \end{eqnarray}$ geht gegen 1), also ist dort die Folge divergent. Gr mYthos

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »