Weniger Gleichungen als Unbekannte - Lösungsweg? |
| 15.11.2004, 22:43 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Weniger Gleichungen als Unbekannte - Lösungsweg? Ich habe hier zwei Aufgaben aus einem Art Mathewettbewerb, bei denen es irgendwie zu wenig Gleichungen gibt für die Anzahl der Unbekannten. *g* Hier mal zur 1. Aufgabe: Es seien a, b, c (von null verschiedene) natürliche Zahlen für welche a²+b²=c² gilt. Zeige: Das Produkt a*b*c ist ein ganzzahliges Vielfaches der Summe a+b+c. Tja...will heißen: a*b*c = n* (a+b+c) da es ja ein ganzzahliges Vielfaches davon ist, dafür das n als Faktor. Dann haben wir noch a²+b²=c² und das war's ja im Prinzip schon. Den Pythagoras da irgendwie umformen mit Wurzel und dann für c einsetzen kommt mir irgendwie nicht so als gescheiter Ansatz vor... Ich habe hier mal ein Beispiel, nur das kann ich ja leider nicht als Lösung verwenden: Wir haben a, b und c. Mal angenommen für a=3, b=4 und c=5 in a²+b²=c² einsetzen. => 3²+4²=5²; 9+16=25 das würde stimmen....bei a+b+c hätten wir dann 3+4+5=12 und das n wäre dann 5. 
Aber ich brauche das ja nun ohne diese Zahlen, bei denen es zufällig (?) passt. Weiß da jemand einen Weg? ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Zur zweiten Aufgabe mit ähnlichem Problem: Bestimme die ganzzahlige Lösung mit betraglich kleinstem x der Gleichungen: 12x+27y+5z = 3 12x+27y+17z = -69 Hm...tja da habe ich als erstes gedacht, naja ganz einfach, da forme ich die zweite Gleichung einfach mal etwas um und bringe 12z auf die andere Seite: 12x+27y+5z = -69-12z und setze die mit der ersten Gleichung gleich: 3 = -69-12z z = -6 Gut, wenn ich das dann natürlich in die beiden Gleichungen einsetze bekomme ich kein Ergebnis sondern sehe einfach, dass sie eben gleich sind: 12x+27y = 33 12x+27y = 33 Soweit sogut, nur bringt mir das in Sachen Lösung für die Aufgabe ja nicht wirklich viel. 
Weiß da jemand Rat? Freue mich über jede Hilfe und danke im Voraus schonmal! 
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| 16.11.2004, 08:59 | TheUnseen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, zur ersten: quadrier doch am anfang mal beide Seiten, da a,b,c natürliche Zahlen sind, darfst du das ohne Bedenken machen. Dann hast Du [latex] a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = n^2 \cdot (a+b+c)^2[\latex] Wenn du jetzt die rechte Seite ausklammerst und den Pythagoras benutzt, solltest du weiterkommen. zur zweiten: x= 5, y = -1 wäre wohl eine Lösung, die betragsmäßig kleineren müsstest Du noch mal durchprobieren. mfg Stefan |
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| 16.11.2004, 22:18 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ehm...wie meinst du das genau mit der rechten Seite danach ausklammern? Wüsste nicht wie das jetzt genau gehen soll bzw. wie mich das dann wirklich weiterbringt? Zum Zweiten: Da geht dann also nur "durchprobieren" anscheinend...? Gruß SkYfiGhTeR
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| 16.11.2004, 23:28 | pimaniac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ad 2.) Löse so ein Gleichungssystem unter der Annahme dass du x kennst. Sprich drücke dir y und z durch x aus, was leicht möglich ist. Dann überleg dir wie x beschaffen sein muss damit y und z ganzzahlig sind und schon bist du fertig. z.B du bist schon auf 12x+27y=33 gekommen --> y=(11-4x)/9 d.h. 11-4x muss durch 9 teilbar sein. das funktioniert z.b.: für x=5 und x=-4, x=-4 ist das betragskleinere... Jetzt musst du nur noch kontrollieren ob mit x=-4 auch z ganzzahlig ist. Ansonsten sollte die schon gepostete Lösung x=5 die Betragskleinste sein. ad 1.) Hier geb ich dir nur einen Tip. Betrachte das ganze geometrisch... da wirst du leicht sehen dass es sich bei den Seitenlängen a,b,c um ein Rechtwinkliges Dreieck handelt. --> Das Doppelte der Fläche = 2A =a*b ist ganzzahlig... Jetzt versuch dir die Fläche irgendwie anders auszudrücken... |
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| 17.11.2004, 19:01 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Zu 2.) Also z ist ja dann -6 und für x=-4 wäre y=3, also wäre x=-4 dann das Betragskleinste. Zu 1.) Da bin ich irgendwie noch ein bischen am Rätseln wie ich da die Fläche noch anders ausdrücken könnte...?! Habe zuerst an Grundseite c in p und q zerlegen gedacht und dann noch mit der Höhe auf c, aber das sieht mir nicht so danach aus, als ob das zur Lösung führen würde...*g* |
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| 17.11.2004, 22:43 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Weniger Gleichungen als Unbekannte - Lösungsweg?
Ein Lösungsversuch, der jedoch etwas Vorwissen voraussetzt: Es gilt folgende Indentität mit ganzen Zahlen m und n: m^4 - 2*m^2*n^2 + n^4 + 4*m^2*n^2 = m^4 + 2*m^2*n^2 + n^4 also auch (m^2 - n^2)^2 + (2*m*n)^2 = (m^2 + n^2)^2 und dieses verglichen mit a^2 + b^2 = c^2 erlaubt zu setzen: a = m^2 - n^2 b = 2*m*n c = m^2 + n^2 z.B. ergibt m=2 und n=1: a=3, b=4 und c=5, und du kannst es ja mit weiteren Zahlen m,n=1,2,3... und m>n testen. Jetzt musst du noch zeigen, dass k = a*b*c/(a+b+c) eine ganze Zahl ist. Wenn ich die Ausdrücke für a,b,c einsetze, erhalte ich für m=2 und n=1 im Beispiel den Wert k=5, wie du in deinem Ergebnis. |
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| 19.11.2004, 18:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist und somit . Dass dieses ganzzahlig ist, dürfte nicht mehr so schwierig nachzuweisen sein. |
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