Netzwerk-Aufgabe

15.11.2004, 22:43

Gast

Netzwerk-Aufgabe

Hi zusammen!

Mich interessiert das Ergebnis dieser Aufgabe, deshalb poste ich das mal, obwohl ich vermutlich schon bald auch eine Lösung bekomme...
Gegeben sind folgende Netzwerke...

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:


1. Netzwerk:

- o -

2. Netzwerk:
       - o - 
- o -|       | - o - 
       - o -

3.Netzwerk:
                 - o - 
         - o - |       | - o - 
      |          - o -         |
      |                        |
- o - |                        | - o - 
      |          - o -         |
         - o - |       | - o - 
                 - o -
4.Netzwerk:
 ...

Die Schalter sind unabhängig voneinander und jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p geschlossen. Die Wahrscheinlichkeit läßt sich dann mit folgender Rekurstionsformel berechnen...
$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(p)= p^2 * (2 P_n(p)-P_n^2(p)), n \in \mathbb N, P_1(p) = p \end{eqnarray*}$
Die Betrachtung dieser Formel führt nun dazu, dass man feststellt, das für $\begin{eqnarray*} p < \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht und für $\begin{eqnarray*} p > \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ gegen einen mir noch nicht bekannten Grenzwert.

Meine Frage nun, wie bzw. warum ergibt sich diese Grenze bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ?

Danke im vorraus für jede Antwort.

16.11.2004, 17:51

rad238

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Grenzwert "g" existiert, dann muss ja gelten, dass sich für unendlich große n die Wahrscheinlichkeit für das öffnen des gesammten Netzwerkes mit noch größer werdendem n nicht mehr ändert, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (P_{n+1}-P_{n})=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g - p² (2 g - g^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit kann man in Abhängigkeit von p den Grenzwert g bestimmen.
Für g > 0 folgt:

$\begin{eqnarray*} g = 2 - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

für g > 0 muss noch gelten:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{1}{p^2} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p > \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex-Code verbessert by therisen. ^2 an Stelle von ² verwenden Augenzwinkern