Summe der Innenwinkel im fünfeckigen Stern |
| 15.11.2004, 22:50 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Summe der Innenwinkel im fünfeckigen Stern es geht um folgendes Problem/Aufgabe: Wie groß ist die Summe der Innenwinkel an den Spitzen des fünfeckigen Sterns? Man formuliere und beweise einen Satz. BILD Um so ein Ding handelt es sich da ungefähr und dazu eben nun die oben stehende Aufgabenstellung. Habe mir überlegt, dass man um diesen fünfeckigen Stern ja nun das "normale" Fünf-Eck drumrumzeichen kann in dem man die Spitzen verbindet. Die Innenwinkel eines Fünf-Ecks betragen ja jeweils 108° (Gesamt: 540°) und von diesen Spitzen würden dann jeweils zwei Linien von dem Stern weggehn. Dann könnte sich theoretisch der 108°-Winkel dritteln und man hätte für die Innenwinkel im fünfeckigen Stern 36° und insgesamt dann 180°, was dann ebenso ein Drittel der Winkelsumme des normalen Fünf-Ecks wäre. Nun habe ich jedoch einnen bisschen verschoben fünfeckigen Stern und keinen der sich ergibt, wenn man ihn in ein normales Fünf-Eck einzeichnet, aber sollte das oben genannte stimmen, müsste bei dem Stern die Winkelsumme ja ebenso 180° betragen. Nur das müsste jetzt noch irgendwie in einem Satz gesagt werden bzw. bewiesen werden (der Satz). Vielleicht muss man das auch noch irgendwie auf Dreieck, Viereck, Sechseck beziehen (deren Winkelsumme...) - weiß ich nicht genau. Bin dankbar für jede Hilfe! 
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| 15.11.2004, 23:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Summe der Innenwinkel im fünfeckigen Stern nun, wenn es der Winkel in einem regelm. Fünfeck ist, gebildet von einer Seite und der gegenüberliegenden Ecke dann beträgt er 36°. zusammen 5*36° =180° Anderes kann ich aktuell ohne weitere Beschreibung zu dem Stern aus Bild und Beschreibung nicht rauslesen. . scheint konstant zu sein, 'gleich' wie das Ding ausschaut ... *gg* ansonsten ist mir das derweil zu nervig ... ... ... so nun, die Aufsummierung der 5 SternDreiecke ergibt: 5*180°= 2*Sternsumme + 1*Fünfeckinnensumme 5*180°= 2*Sternsumme + 3*180° Sternsumme = 2*180°/2 = 180° (zugeh. Fünfeck beliebig) |
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| 16.11.2004, 06:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Poff Das verstehe ich nicht (vermutlich liegt es an den von dir verwendeten Begriffen, die nicht ganz selbsterklärend sind). Ich schlage folgende Lösung vor: Verbindet man die Spitzen des Sterns außen herum, so erhält man ein Fünfeck mit der bekannten Innenwinkelsumme = 3·180° Jetzt ziehen wir hiervon die Innenwinkel derjenigen Dreiecke außen ab, die den Stern zu jenem Fünfeck auffüllen, und erhalten als Zwischenergebnis = 3·180° - 5·180° Da haben wir fünf stumpfe Winkel zuviel abgezogen. Diese fünf stumpfen Winkel sind aber Scheitelwinkel des Fünfecks im Innern des Sterns, haben zusammen also wieder 3·180°. Wir korrigieren zur Sternspitzenwinkelsumme = 3·180° - 5·180° + 3·180° = 180° |
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| 16.11.2004, 12:32 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich versuch noch mal einen anderen erklärungsansatz. im anhang hab ich in die skizze meine bezeichnungen für die winkel eingetragen. ich hoffe man kann das, trotz meiner fehlenden freihand-mit-der-maus-zeichen-/schreibkunst lesen
statt alpha und beta nehm ich jetzt immer a und b, sonst sitz ich morgen hier noch am formeleditor 
also es geht um die summe a1 + a2 + a3 + a4 + a5. in den äußeren dreiecke gilt nach dem winkelsummensatz: b5 + b1 + a5 = 180° UND b4 + b5 + a4 = 180° UND b3 + b4 + a3 = 180° UND b2 + b3 + a2 = 180° UND b1 + b2 + a1 = 180° wenn man die ganzen gleichungen addiert, dann erhält man: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + 2*(b1 + b2 + b3 + b4 + b5) = 900° außerdem bilden die nebenwinkel von b1 bis b5 ein fünfeck (nämlich das in der mitte). damit gilt auch: 180° - b1 + 180° - b2 + 180° - b3 + 180° - b4 + 180° - b5 = 540° bzw. b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 360° das setze ich oben ein und erhalte: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + 2*360° = 900° oder a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 180° |
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| 16.11.2004, 22:16 | SkYfiGhTeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Abend! Danke erstmal für die mehreren Antworten bzw. Lösungsvorschläge!
Bin das von Leopold sowie auch Jan mal genau durchgegangen und kann nur sagen, dass das so richtig sein muss - konnte ich nachvollziehen und hab ich auch verstanden! Vielen Dank für die Hilfe und die gute Erklärung/Erläuterung bzw. auch Skizze.
Gruß SkYfiGhTeR |
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| 17.11.2004, 15:10 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nicht ganz selbsterklärend sind ... ist richtig, war mir auch bewusst, hatte keine Zeit und dachte etwas Knobeln kann ja bleiben, Besseres nicht eingefallen ... 1*Fünfeckinnensumme = Innenwinkelsumme des aus den SternSpitzen gebildeten umrahmenden Fünfecks = 540° (= 3*180°) 1*SternDreieck = Dreieck aus einer Sternspitze und der durch die Endpunkte der beiden Schenkel gebildeten Grundlinie (die der Spitze gegenüberliegende Seite des umrahmenden Fünfecks). ... ist etwas 'plumper gerechnet' als deine Variante. W.Summe der 5 Sterndreiecke ergibt 2*SummeallerSternwinkel + (1*SummeallerSternwinkel + Ergänzung zur Fünfeckinnensumme) . |
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| 13.11.2013, 15:50 | Stephanie98 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stern Hallo, ich habe jetzt von all dem nicht übermäßig viel Ahnung, aber während ich mir die Problemstellung so durchgelesen habe ist mir aufgefallen, dass kaum einer von euch berücksichtigt, dass die Winkelsumme der Sternspitzen auch von den "inneren Spitzen", also den Zacken, die zur Sternmitte zeigen, abhängig ist. Solange das Verhältnis dieser Spitzen zu den äußeren Spitzen nicht festgelegt ist, halte ich es für unmöglich eine Formel zur Berechung der Winkelsumme aufzustellen. Aber wie gesagt, ich selber bin jetzt kein Experte auf diesem Gebiet und wollte nur einen kleinen Denkanstoß geben. Sollte ich mit meiner Behaubtung föllig falsch liegen, tut es mir leid
lg |
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