Taylorreihe

15.11.2004, 23:13

homer

Taylorreihe

So lautet die Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 sin(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle o in eine Taylorreihe. Geben Sie die ersten 6 Glieder an.

Aufgabenlösung

x=0

Ableitung mit der Produktregel

$\begin{eqnarray*} y' = u' \cdot v + v' \cdot u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = 2x \cdot \sin(x)+\cos(x)\cdot x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'' = 2\sin(x)+4x\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''' = 6\cos(x)+6x\cdot (-\sin(x))+x^2\cdot (-\cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'''' = 12\cdot (-\sin(x))+8x\cdot (-\cos(x))+x^2\cdot (+\sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''''' = 20\cdot (-\cos(x))+10x\sin(x)+x^2\cdot (+\cos(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0) = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''''(0) = 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 + \frac{1}{1!}x+ \frac{6}{3!}x^3+ \frac{20}{5!}x^5+...+Ru(x) \end{eqnarray*}$

Stimmt die Lösung ?

Besten Dank schon mal für die Hilfe

Homer Prost

edit: latex-Codes verbessert, wenn du etwas multiplizierst, dann mach das bitte auch eindeutig klar und schreibe es nicht als Summe! $\begin{eqnarray*} x^2-\sin(x) \end{eqnarray*}$ ist nämlich eine Summe, ich bin mir aber sicher, du wolltest da schreiben $\begin{eqnarray*} x^2\cdot(-\sin(x)) \end{eqnarray*}$ . Hab auch mal sin und cos n bißchen grader geschrieben Augenzwinkern

(MSS)

16.11.2004, 00:00

Mathespezialschüler

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Also nochmal zu deinem latex-Text. Du solltest darauf achten, dass du stärker zwischen Produkt und Summe unterscheidest. So, dass es auch andere lesen können und nicht nur du Augenzwinkern

Deine ersten 5 Ableitungen sind allesamt richtig! Freude

Allerdings solltest du nochmal $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(5)}(0) \end{eqnarray*}$ nachrechnen, es kommt da nämlich raus:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(0)=-20 \end{eqnarray*}$

!! smile

16.11.2004, 00:04

RainerZufall

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RE: Taylorreihe
nein tut mir leid... ich hab was anderes raus: x^3-x^5/6+x^7/120.....

f'(0)=0
das ist mir gerade so aufgefallen vor dem ins bett gehn Schläfer

16.11.2004, 00:16

Mathespezialschüler

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RE: Taylorreihe
@RainerZufall
Nimmt man bei homer mal das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}x \end{eqnarray*}$ weg, so ist seines deinem gleich!

Zitat:

Original von homer
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 + \frac{1}{1!}x+ \frac{6}{3!}x^3+ \frac{20}{5!}x^5+...+Ru(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{6}{3!}x^3+ \frac{20}{5!}x^5+...+Ru(x)=\frac{6}{3\cdot 2\cdot 1!}x^3+ \frac{20}{5\cdot 4\cdot 3!}x^5+...+Ru(x)=\frac{x^3}{1!}+ \frac{x^5}{3!}+...+Ru(x) \end{eqnarray*}$
und das geht so weiter und stimmt mit deinem überein!

16.11.2004, 06:30

Leopold

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Um Lichtjahre einfacher wird die Aufgabe, wenn man zunächst die Taylor-Reihe von sin x bestimmt und dann x² heranmultipliziert.

16.11.2004, 08:04

RainerZufall

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@mathespezialschueler

uuupppssss..... Hammer

da hab ich wohl schon geschlafen...

16.11.2004, 14:23

homer

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Zitat von Leopold

Um Lichtjahre einfacher wird die Aufgabe, wenn man zunächst die Taylor-Reihe von sin x bestimmt und dann x² heranmultipliziert.

Wie geht das ?

16.11.2004, 16:44

Leopold

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So, wie ich es gesagt habe:

1. Taylor-Reihe von f(x) = sin x (das Verfahren dazu kennst du ja)
2. Term aus 1. mit x² multiplizieren

23.11.2004, 21:29

homer

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Zitiai:"
Leopold So, wie ich es gesagt habe:
1. Taylor-Reihe von f(x) = sin x (das Verfahren dazu kennst du ja)
2. Term aus 1. mit x² multiplizieren "

Ich ich habe es jetzt das so versucht, da die erste methode unheimlich zeitraubend ist. Ist die gleiche aufgabe. ist jezt ebenfalls alles richtig? Hammer

$\begin{eqnarray*} f(x)= sin(x) * x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = -sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = -cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''''(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

f(x) 0 gesetzt

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0) =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''''(0) = 1 \end{eqnarray*}$

übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^3 +\frac{1}{3!} *-x^5 +\frac{1}{5!}*x^7 \end{eqnarray*}$

THX-4-Helping

23.11.2004, 21:46

Mathespezialschüler

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Ja, alles richtig, du müssest aber schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g''(x) \end{eqnarray*}$
...

Also alles mit g, weil das sind nicht die Ableitungen von f!

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