Komplexe Menge in der gaußschen zahlenebene

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16.11.2004, 14:15	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Menge in der gaußschen zahlenebene Hi, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. ich soll folgende aufgabe lösen und habe keine ahnung, wie ich da rangehen soll: Stelle die folgenden Mengen in der gaußschen Zahlenebene dar: K:={z € C \| \|z-4+i\|=2} und G:={z € C \| Im(z)+0.5Re(z)=1} ich habe keine ahnung, wie ich das machen soll
16.11.2004, 14:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Menge in der gaußschen zahlenebene also K ist die Menge der komplexen Zahlen für die \|z-4+i\|=2 gilt. Wie kann man denn eine komplexe Zahl z schreiben und was ist dann \|z-4+i\| ?
16.11.2004, 14:30	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
also wir hatten z=(a+b*i) ich weiß aber nun nicht, inwieweit ich das in hinblick auf die aufgabenstellung anwenden könnte. diese gleichung macht mich unsicher z-4+i=2
16.11.2004, 14:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, du hast jetzt z = a + b*i, was ist jetzt z-4+i , das heißt, was steht da, wenn du die komplexe Darstellung von z einsetzt?
16.11.2004, 16:16	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
na \|a+bi-4+i\|=2 also vereinfacht \|a-4+2bi\|=2 und nun? ich blick echt nich durch fg
16.11.2004, 17:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
die Veinfachung war nicht ganz richtig, muß heißen: a - 4 + (b+1)i Davon muß der Betrag, also \| a - 4 + (b+1)i \| berechnet werden. Weißt du, wie der Betrag gerechnet wird?
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16.11.2004, 18:15	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja richtig mit der vereinfachung... ok... betragsrechnen liegt schon sehr sehr lange bei mir zurück, wär nett, wenn du mir da noch mal auf die sprünge helfen könntest
16.11.2004, 19:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
man nimmt die Wurzel aus den Qudraten von Realteil und Imaginärteil, also: z = a+b*i \|z\| = Wurzel(a² + b²) Natürlich jetzt das z verwenden, wie es zuvor berechnet wurde.
16.11.2004, 22:26	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
((a - 4) + (b+1)*i)²: sqrt((a-4)²+(b+1)²i²) \|z\|=(a-4)-(b+1) is das richtig? i² is doch -1 oder...
17.11.2004, 08:46	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
schau nochmal genau hin: wenn z = a + bi ist, dann ist der Imaginärteil die reelle Zahl b, nicht das Produkt bi. Für deine Aufgabe ist also: \|z\| = sqrt((a-4)²+(b+1)²) Wegen der Forderung \|z\| = 2, muß also gelten: 4 = \|z\|² = (a-4)² + (b+1)² Das kann man meinetwegen nach b auflösen.
17.11.2004, 12:31	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.... aber was hab ich dann davon? ich soll doch irgendwie die menge der zahlen die diese eig erfüllen irgendwie in diesem gaußschen zahlensystem eintragen....
17.11.2004, 12:41	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist gerade was aufgefallen... die menge K kann man doch einfach so darstellen, dass es ein kreis um den nullpunkt mit dem radius 2 ist, da ja der betrag/also die länge des vektors der komplexen zahl 2 beträgt. das was in den betragsstrichen steht, interessiert doch da eigentlich gar nicht, oder?
17.11.2004, 12:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
also das interessiert schon, die Idee mit dem Kreis kommt der Sache näher, allerdings mit einem Kreis um den Nullpunkt und Radius 2 findest du die z mit \|z\| = 2. Das war aber nicht gesucht. Der Kreis müsste um den Punkt (4;-1) gezogen werden. Nehmen wir nochmal die letzte Gleichung: 4 = \|z\|² = (a-4)² + (b+1)² Dann ist: b+1 = +- Wurzel(4 - (a-4)²) Also: b = -1 +- Wurzel(4 - (a-4)²) Damit kannst du aus einem gegebenen Realteil a den Imaginärteil b berechnen. Übrigens braucht man nicht 2 Beiträge hintereinander machen, man kann auch einen Beitrag ändern bzw. ergänzen.
17.11.2004, 13:31	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist jetzt die menge ein kreis mit m(4,-1) und r=4? falls das stimmen sollte is das schön, aber richtig klar ist mir das mit den kreiskoordinaten noch nicht so ganz... Kreisgleichung: x²+y²=r² ... also sollte es doch r=2 sein x wäre dann x=a-4 --> a=4 daher 4 auf der a-achse? und demnach b=-1 auf der b achse?
17.11.2004, 13:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
wie du selbst feststellst, muß der Kreis den Radius 2 haben. Der Mittelpunkt ist (4;-1). Wenn du nochmal in meinen Beitrag davor schaust, hatten wir: b = -1 +- Wurzel(4 - (a-4)²) wenn wir mal a auf die x-Achse und b auf die y-Achse legen, können wir das ganze auch mit x und y schreiben, ist dann vielleicht etwas vertrauter: y = -1 +- Wurzel(4 - (x-4)²) Rechne doch mal ein paar Punkte aus und zeichne sie ins Koordinatensystem. Betrachte diese Punkte als komplexe Zahlen und setze sie in die ursprüngliche Forderung für z ein.
17.11.2004, 14:01	Turon	Auf diesen Beitrag antworten »
ok... ich glaube ich habs jetzt verstanden mit den koordinaten... danke dir soweit erstmal jetzt grüble ich noch über die zweite aufgabe.... ich denke mir, die menge G ist eine Gerade y=1-0.5x die menge der zahlen sind halt die punkte auf dieser geraden. oder?

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