Rekonstruktion

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09.04.2007, 12:38	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion Hi, ich habe Probleme bei dieser Aufgabe: Von dem Graphen einer ganzrationalen Funktion f sei bekannt: Der Graph von f hat im Koordinatenursprung die Steigung 1 und ändert im Punkt $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ seine Krümmungsrichtung. Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ schneidet die Gerade g mit $\begin{eqnarray} g(x)= -\frac{1}{3} x + \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ senkrecht. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion 4. Grades, deren Graph die Bedingungen erfüllt. Folgendes habe ich schonmal: $\begin{eqnarray} f(x)=a_4x^{4} +a_3x^{3}+a_2 x^{2} +a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=4a_4x^{3} +3a_3x^{2}+a_2 x +a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=12a_4x^{2} +6a_3x+2a_2 \end{eqnarray}$ 1. m=1 bei x=0, also gilt: $\begin{eqnarray} m=1 => f'(x)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=4a_4(0)^3+3a_3(0)^2+2a_2(0)+a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=a_1 \end{eqnarray}$ 2. Krümmung bei $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} f''(1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=12a_4+6a_3+2a_2 \end{eqnarray}$ Wie geht's nu weiter?
09.04.2007, 13:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion Hello again $\begin{eqnarray} f(x)=a_4x^{4} +a_3x^{3}+a_2 x^{2} +a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=4a_4x^{3} +3a_3x^{2}+2a_2 x +a_1 \end{eqnarray}$ (da fehlte die 2) $\begin{eqnarray} f''(x)=12a_4x^{2} +6a_3x+2a_2 \end{eqnarray}$ nun mal rann an die Infos: 1. "...Im Koordinatenursprung..." bedeutetet f(0)= ?
09.04.2007, 13:15	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$
09.04.2007, 13:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion Ok. Richtig. Ich schreibe das mal hin... 1. "...Im Koordinatenursprung..." bedeutetet f(0)= 0 2. "...hat in (0/0) die Steigung 1..." bedeutet f'(0)= ?
09.04.2007, 13:26	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(0)=1 \end{eqnarray}$
09.04.2007, 13:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion Wieder richtig. 1. "...Im Koordinatenursprung..." bedeutetet f(0)= 0 2. "...hat in (0/0) die Steigung 1..." bedeutet f'(0)= 1 3."...ändert in P(1,f(1)" seine Krümmungsrichtung...". Was liegt dort also vor?
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09.04.2007, 13:41	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f''(1)=0 \end{eqnarray}$ An dieser Stelle ist ein Wendepunkt.
09.04.2007, 13:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekonstruktion Auch Wieder richtig. 1. "...Im Koordinatenursprung..." bedeutetet f(0)= 0 2. "...hat in (0/0) die Steigung 1..." bedeutet f'(0)= 1 3."...ändert in P(1,f(1))" seine Krümmungsrichtung...". Was liegt dort also vor? Ein Wendepunkt, das bedeutet f''(1) = 0 4. " ...Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ schneidet die Gerade g mit $\begin{eqnarray} g(x)= -\frac{1}{3} x + \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} P(1, f(1)) \end{eqnarray}$ senkrecht...", bedeutet im Schnittpunkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f'(1)= ? \end{eqnarray}$
09.04.2007, 13:52	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(1)=3 \end{eqnarray}$
09.04.2007, 14:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mensch, das läuft ja wie am ... EDIT: Sorry, zu früh gefreut. Wir brauchen ja 5 Bedingungen. Das macht das Hungerloch in meinem Magen... Aber das eine so wie das andere ist Schnell behoben. Wie lautet die 5te Bedingung? EDIt: Bis später http://www.my-smileys.de/smileys3/essen_2.gif
09.04.2007, 14:29	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß es leider nicht...
09.04.2007, 14:33	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
f(1) = g(1)
09.04.2007, 14:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
so, wie lautet nun das zu Lösende Gleichungssystem?
09.04.2007, 15:02	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1. f(0)=0=a_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. f'(0)=1=a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3. f''(1)=0=12a_4+6a_3+2a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4. f'(1)=3=4a_4+3a_3+2a_2+a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5. f(1)=g(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \end{eqnarray}$
09.04.2007, 15:03	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass f(1)=g(1) ist, verstehe ich nicht ganz...
09.04.2007, 15:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist g(1)? Wie schriebt man das ganze dann als Matrix? wie heißt der zur Lösung benötigte Algorithmus?
09.04.2007, 15:05	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä? g(1) ist doch 1 oder?
09.04.2007, 15:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
f(1)=g(1), weil die das hier "Saublöd" formuliert haben. Sie schneiden sich doch in P(1(f(1))
09.04.2007, 15:09	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist bei x=1 ihr Schnittpunkt... Und dann?
09.04.2007, 15:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt Dir der Name: Gaußalgorithmus was?
09.04.2007, 15:14	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das Ziel ist das sogenannte Dreieckssystem, also das "Aufrollen" des LGS durch Einsetzverfahren. Das kann ich. Soll ich das jetzt anwenden?
09.04.2007, 15:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
09.04.2007, 15:51	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis lautet: $\begin{eqnarray} f(x)= -4x^4+10x^3-6x^2 \end{eqnarray}$ Stimmt das mit deinem Ergebnis überein?
09.04.2007, 16:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal wieder aus Johan Lafer's vorbereiteten Speisen f(0)=0 f(1)=1 f'(0)=1 f'(1)=3 f''(1)=0 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&0&0&0&1 \\ 1&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&0 \\4&3&2&1&0 \\ 12&6&2&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_4\\a_3\\ a_2\\a_1\\a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lösen mit Gaußalgorithmus. Lösung: $\begin{eqnarray} a_4=-4,~a_3=10,~a_2=-6,~a_1=1,~a_0=0 \end{eqnarray}$ Also Ja, deine Lösung ist richtig
09.04.2007, 16:06	Mary	Auf diesen Beitrag antworten »
Yippie, danke schon wieder für deine Hilfe!! Ciao
09.04.2007, 16:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen

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