Winkel zwischen 2 Vektoren

09.04.2007, 13:44

Calvin

Winkel zwischen 2 Vektoren

Hi allerseits,

ich helfe gerade einer Bekannten bei der Abiturvorbereitung. Heute haben wir eine Aufgabe gerechnet, für die ich einen einfacheren Lösungsweg suche. Wir haben die Aufgabe zwar gelöst, aber der Rechenaufwand steht in keinem Verhältnis zur Punkteverteilung.

Ich habe die genauen Zahlenwerte nicht mehr im Kopf und habe deshalb Zahlenwerte "erfunden". Es geht mir auch nur um den Ansatz.

Gegeben ist eine rechteckige Projektionsfläche im R³ mit den Eckpunkten A(10/3/0), B(5/7/0), C(9/12/2), D(14/8/2). Der Normalenvektor der Projektionsfläche ist $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}8\\10\\-41\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der Mittelpunkt dieser Fläche ist M(12,5/7,5/1). Außerdem gibt es noch eine punktförmige Lichtquelle im Punkt P(20,5/17,5/-40).

Die Lichtquelle strahlt senkrecht auf den Mittelpunkt der Projektionsfläche und hat einen Öffnungswinkel von $\begin{eqnarray*} \alpha=4^{\circ} \end{eqnarray*}$

Die Lichtquelle wird nun entlang einer Geraden verschoben, die senkrecht durch den Mittelpunkt der Projektionsfläche verläuft. Bis zu welchem Punkt P' muss die Lichtquelle mindestens verschoben werden, damit die Projektionsfläche vollständig bestrahlt wird.

Unser Ansatz war, dass wir die Gerade g durch die Punkt P und M aufgestellt haben.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\begin{pmatrix}12{,}5\\7{,}5\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}8\\10\\-41\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der gesuchte Punkt P' hat also die Koordinaten $\begin{eqnarray*} P'(12{,}5+8t~/~7{,}5+10t~/~1-41t) \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir den Winkel zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{P'M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{P'C} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von t bestimmt.

Das funktioniert, aber es kommen zwischendrin unübersichtliche mehrzeilige Ausdrücke drin vor. Gibt es da noch eine einfachere Lösung? Die Aufgabe hat "nur" 4 Punkte gegeben, während die vorherigen Teilaufgaben mit deutlich weniger Rechen/Denkaufwand jeweils 6 Punkte brachten verwirrt

09.04.2007, 14:57

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Du könntest die Höhe berechnen

h = MC/tan(2°)

P' = M + h*(P-M)/|(P-M)|

09.04.2007, 15:07

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mann, natürlich Hammer

"Immer" gehe ich den Umweg über Trigonometrie oder Analysis. Jetzt wollte ich das einmal vermeiden...

Danke Poff Freude

09.04.2007, 15:41

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Die Trigonometrie raushalten zu wollen ist prinzipell schon
richtig, nur hier musst letztlich doch einen numerischen Wert
für die cos(2°) Entsprechung benutzen und dann macht der
'trigonometriefreie' Weg kaum noch Sinn.

09.04.2007, 16:25

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, verstehe ich es richtig, dass deiner Meinung nach für einen anderen numerischen Wert (z.B. $\begin{eqnarray*} \cos{60^\circ} \end{eqnarray*}$ ) der trigonometriefreie Weg mehr Sinn macht? verwirrt

Das aufwändige an der Aufgabe war die Berechnung der Beträge bzw. des Skalarprodukts der beiden Vektoren in Abhängigkeit von t. Hinzugekommen wäre beinahe noch eine Fallunterscheidung für den Betrag. Das war noch vollkommen unabhängig vom vorgegebenen Winkel.

Oder meintest du etwas anderes?

09.04.2007, 16:50

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldige, dass ich mich wichtig mache
so verwirrt

mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 2° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H=\frac{\mid\overrightarrow{AC}\mid}{2\cdot tan\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MP}^\star=H\cdot\vec{n}_0 \end{eqnarray*}$
und damit

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}^\star=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}^\star \end{eqnarray*}$

werner

09.04.2007, 16:57

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@Werner

das entspricht genau dem Ansatz von Poff. Also auch dir danke für die Hilfe smile

09.04.2007, 21:22

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem zu erwartenden exakten Ergebnis wäre ich eher
für den 'trigonometriefreien' Ansatz. (selbstverständlich wäre
das exakte Resultat dann auch über den trigonometrischen
Weg erreichbar)

Bei einen Nachhilfefall würde ICH primär versuchen einen
verständlichen Weg zu finden und ein richtiger trigonometrischer,
vielleicht noch vorgeschlagen vom Nachhilfeschüler selbst, wäre
mir um ein vielfaches lieber als ein nicht vorhandener
'trigonometriefreier'. Diesbezüglich würde ich meine Nachhilfe-
schüler auch ermuntern sich im Zweifelsfall zu ihrem Vorteil
über einengende unsinnige Vorschriften hinwegzusetzen.

Einen akzeptabler Weg des anderen Schlags, wäre vielleicht:

cos(88°) = (P'-C)*(M-C) / (|P'-C|*|M-C|)

mit
P' = (19/2+8*t ; 15/2+10*t ; 1-41*t)

(P'-C)*(M-C) = 43/2

(|P'-C|*|M-C|) = 1/2*sqrt(86+7380*t^2)*1/2*sqrt(86)

das bleibt noch rechenbar und liefert
t1,2 = +- 3.09127
(einem Nachhilfeschüler würde ich das dennoch kaum vorschlagen)

dein M von oben ist falsch
M(19/2;15/2;1)

09.04.2007, 21:31

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dein M von oben ist falsch
M(19/2;15/2;1)

Ups, Danke. Kommt davon, wenn man sich Aufgaben ausdenkt Augenzwinkern

Danke auch für die ausführliche Erklärung.

Gruß
Calvin

Neue Frage »

Antworten »

Winkel zwischen 2 Vektoren

Verwandte Themen