Warum ist 1+1=2? - Seite 2 |
| 14.04.2004, 16:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| 1+1=2 Zunächst das "normale Rechnen": Man hat eine unendlich lange Schnur, die man sich gerade ausgestreckt denkt. Irgendwo auf der Schnur befindet sich der Nullpunkt, auf der einen Seite von ihm liegen in gleichen Abständen die positiven ganzen Zahlen 1,2,3,..., auf der anderen die negativen -1,-2,-3,... . Jetzt das Rechnen "modulo 12": Man legt die Schnur über sich selber und bindet eine Schlaufe, und zwar so, daß die 0 mit der 12 zusammenfällt (die 13 liegt dann auf der 1, die 14 auf der 2 usw., schließlich die 23 auf der 11 und die 24 wieder auf der 0 und 12). Und so geht das weiter, auch in negativer Richtung. Aus der Zahlengerade wird ein Zahlenkreis (wie eine Uhr), und es liegen die Zahlen jeder Zeile aufeinander: ... , -48 , -36 , -24 , -12 , 0 , 12 , 24 , 36 , 48 , ... ... , -47 , -35 , -23 , -11 , 1 , 13 , 25 , 37 , 49 , ... ... , -46 , -34 , -22 , -10 , 2 , 14 , 26 , 38 , 50 , ... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ... , -37 , -25 , -13 , -1 , 11 , 23 , 35 , 47 , 59 , ... Zahlen, die aufeinander liegen, gelten modulo 12 als gleich, z.B. -24=-12=0=12=24 -9=3=15=27=39 Das ist natürlich anders als beim "normalen Rechnen" - und es ist etwas gewöhnungsbedürftig, wenn man modulo 12 rechnet. Man rechnet einfach "wie auf der Uhr". Es folgen Beispiele: Frage: Der Zeiger einer Uhr steht auf 3. Wo steht er nach 8 Stunden? Antwort: 3+8=11. Der Zeiger steht auf der 11. Frage: Der Zeiger einer Uhr steht auf 5. Wo steht er nach 9 Stunden? Antwort: 5+9=2 (beachte: 14=2 modulo 12). Der Zeiger steht auf der 2. Frage: Der Zeiger einer Uhr steht auf 8. Wo stand er vor 11 Stunden? Antwort: 8-11=9 (beachte: -3=9 modulo 12). Der Zeiger steht auf der 9. Und jetzt das Rechnen modulo 2 (also in F2): Wir stellen uns ein Land vor, in dem es auf allen Uhren nur zwei "Stunden" gibt. Die Zahlengerade wird also schon nach 2 und nicht erst nach 12 Einheiten zu einem Zahlenkreis aufgewickelt. Dann liegen aufeinander: ... , -8 , -6 , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , ... (die geraden Zahlen) ... , -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... (die ungeraden Zahlen) In F2 gelten also alle geraden Zahlen als gleich und alle ungeraden ebenso, z.B. -4=-2=0=2=4 -3=-1=1=3=5 Gibt es jetzt die "2" eigentlich noch in F2? Einerseits ja, andererseits nein. Die "2" existiert noch also ein Name für die Stelle auf unserer Zweier-Uhr, an der die geraden Zahlen liegen. Aber dieselbe Stelle hat auch andere Namen, z.B. "-18", "6", "4354". Die "2" existiert also nicht mehr als eigenständiges Objekt, das sie von der 0 und der 1 unterscheidet. Sie ist nur noch einer von unendlich vielen Namen für die Stelle, auf der alle geraden Zahlen liegen. Und so rechnet man modulo 2: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 Genausogut könnte man dieselben vier Gleichungen auch so schreiben (aber das macht eigentlich keiner so, obwohl es richtig wäre): 4+(-2558)=97532, 456+24689=-4443, -465+5554=3, 889+(-43)=-18 Man könnte auch einfach so schreiben: gerade+gerade=gerade, gerade+ungerade=ungerade, ungerade+gerade=ungerade, ungerade+ungerade=gerade Es ist aber üblich, beim Rechnen in F2 nur 0,1 und gelegentlich noch -1 (obwohl das =1 ist) als Zeichen zu verwenden. Die Diskussion über 2/2 in F2 ist ziemlich überflüssig, denn wie wir gerade sahen, ist ja 2=0 in F2. Diskutiert man also über 2/2, so diskutiert man in Wirklichkeit über 0/0. Fazit: Man muß sich einfach klar machen, daß das Zeichen "2" verschiedene Bedeutungen hat. Beim "normalen Rechnen" ist 2 ein von 0,1 und allen anderen ganzen Zahlen verschiedenes Element. Beim Rechnen modulo 2 ist 2 nur ein Name für diejenige Stelle auf dem Zweier-Zahlenkreis, auf der alle geraden Zahlen liegen. Reicht das? |
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| 14.04.2004, 18:22 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Re: 1+1=2 Danke für deine Erklärung, Leopold. Deine Beschreibung des F_2 als Restklassenkörper Z / 2Z ist zwar korrekt, entspricht aber nicht meiner Beschreibung des F_2. Schauen wir aber mal, zu welchen Ergebnissen wir hier kommen...
Du sagst es: 2 ist ein Name eines bestimmten Objekts. Wenn ich dich nun bitte "Gibt mir mal die 2 aus dem F_2", dann bekomme ich ein Element des F_2, richtig? Nämlich das neutrale Element der Addition, das ich auch gekriegt hätte, wenn ich um die "0" gebeten hätte.
Es ist also egal, welchen Namen ich für die Elemente des F_2 verwende - solange es ein richtiger Name ist. 2 ist ein richtiger Name des neutralen Elements der Addition, ebenso wie 0. 13 wäre ein falscher Name, denn der bezeichnet ein anderes Element des F_2.
Dieses Beispiel brachte ich, um klarzumachen, dass der F_2 nicht allein deshalb besonders ist, weil seine Elemente mehrere Namen haben. In den rationalen Zahlen sind 1/1 und 2/2 zwei Namen derselben rationalen Zahl. Ebenso sind 0 und 2 zwei Namen derselben Zahl im F_2. Der Name 7/3 bezeichnet auch ein Element des F_2, nämlich das Ergebnis der Division (1+1+1+1+1+1+1) : (1+1+1) im F_2. Dass hier 7/3 = 1 ist, kann sich nun jeder selbst ausrechnen. Du hast recht damit, dass es im F_2 kein Element 2/2 gibt. Ebenso wie es in Q kein Element 7/0 gibt. Darum ging es mir aber gar nicht.
Mir war das von Anfang an klar. movarian hat ebenfalls schon darauf hingewiesen.
Das neutrale Element der Multiplikation ist durch eine bestimmte Eigenschaft definiert. Jedes Element, das diese Eigenschaft hat, ist neutrales Element. Bei anderen Verknüpfungen kannst du mehrere verschiedene neutrale Elemente haben (echt verschiedene, nicht nur verschiedene Namen). Da 2/2 die Bedingung erfüllt, ist 2/2 ein neutrales Element der Multiplikation in Q. Dieser Fakt ist nicht definiert, sondern folgt aus der Definition des neutralen Elements.
Ich hoffe, Leopolds Erklärung bringt dich zur Erkenntnis, dass im F_2 die Gleichung 1 = 3 = 5 = 7 = 9 = 1001 gilt, weil das alles verschiedene Namen derselben Zahl sind. Vielleicht musst du dich noch von der Vorstellung lösen, dass jedes Objekt einen eindeutig bestimmten Namen haben muss. Es gibt das Element 2 im F_2 - es ist aber nicht verschieden von 0. Nur ein andere Name derselben Zahl... Gehen wir nochmal zur anderen, von movarian vorgeschlagenen, Schreibweise über: Das neutrale Element der Addition des F_2 wird mit 0_F2 bezeichnet, das neutrale Element der Multiplikation des F_2 wird mit 1_F2 bezeichnet. Wer will mich nun daran hindern, das Ergebnis der Rechnung 1_F2 + 1_F2 als 2_F2 zu bezeichnen? Da der Name 2_F2 noch nicht besetzt war, verwende ich ihn als Abkürzung für diese Summe. Eine - wie ich finde - sinnvolle Abkürzung. Mit dieser Abkürzung stelle ich nun fest - für einige wohl immer noch überraschend - dass 2_F2 = 0_F2 ist. Gruss, SirJective |
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| 15.04.2004, 01:04 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Habe nur ich beim Lesen dieses Threads ein Deja-Vu-Gefühl?? |
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| 12.07.2004, 20:29 | Physicus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
das ist ganz einfach zu beantworten: Nimm einen Finger...und tue einen dazu...dann hast du zwei 8) |
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| 13.07.2004, 00:31 | Sajin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Wo liegt der Vorteil, wenn man zwei oder mehr Bezeichner für das neutrale Element in F2 einführt. Bei Q ists mir klar durch die Rechenregeln, aber hier hats keinen mir ersichtlichen Vorteil ? Wenn man eine k Einsen und n Nullen summiert hat man vielleicht erstmal eine Natürliche Zahl im Kopf, weil man nicht 1+1 = 0 +1 =1 +1 = 0 rechnet, sondern 4*1 =4 also 0 ? Deshalb aber F2 um unendlich viele Bezeichner zu erweitern, das ist irgendwie ineffizient... [edit] Eigentlich ist mein Beitrag überflüssig, deine Def. ist ungewöhnlich aber die Erweiterung ändert nichts, so daß es einfach nur "Geschmackssache" ist, d.h. wenn man es gewohnt ist, warum ändern, wenn man damit besser umgehen kann, warum nicht.... 
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| 13.07.2004, 00:43 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Bitte tut mir den Gefallen und wärmt nicht genau diesen Thread wieder auf... Sajin, wenn du dir den kompletten Thread durchliest, wirst du sehen, dass bereits sämtliche Aspekte dieser Diskussion durchgekaut sind. Gruß vom Ben |
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| 26.07.2004, 16:38 | XMCIIV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| RE: Warum ist 1+1=2? Ihr seid ja alle Freaks, muss zugeben genau deshalb bin ich auch auf diese Seite gestossen... Warum ist 1+1=2 Würd mich auch interessieren. MFG XMCIIV |
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| 26.07.2004, 16:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
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| 26.07.2004, 23:45 | juergen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Gerade bin ich auf folgende PowerPoint Präsentation zu diesem Thema gestoßen: http://www.fachschaft06.de/funny/Powerpoints/1+1=2.pps :P |
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| 02.01.2013, 23:02 | dastimlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Guten abend. Ich weiß dass dieser thread schon recht alt ist, aber ich suche die von Jürgen gepostete ppt. Ich finde leider sonst keinen funktionierenden link im Netz... Danke
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| 03.01.2013, 02:07 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Am besten schreibst Du die Fachschaft 06 an... |
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| 03.01.2013, 09:17 | dastimleinGAST | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Und was schreibe ich da wem? Hallo Mr x ich hätte gern die ppt mit 1+1=2 ? Kenne fachschaft06 leider nicht |
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| 03.01.2013, 10:40 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Von uns kennt wahrscheinlich auch niemand den damals verantwortlichen aus der Fachschaft. Du könntest ja auf diesen Thread verweisen und anfragen, ob die PPT noch existiert und ob du diese bekommen könntest. 
Damit dieser elends alte Thread nicht nochmal aufgewärmt wird, ist hier bis auf weiteres geschlossen. PNs mit Beschwerden und Anträgen auf Wiedereröffnung können gerne an mich gerichtet werden. |
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