Warum ist 1+1=2?

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MCXSC Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist 1+1=2?
Hallo!

Ich habe hier mal rausgehört, dass einige Leute hier Mathematikstudiert haben, bzw. gerade dabei sind.

Also... *gg*

War eigentlich nur Spaß, als ich zu meinem Mathe-Lehrer (ich bin in der 10ten Klasse) meinte, "warum 1+1=2 ist, und ob die sowas auch beim Studium gemacht haben".

Dieser bestötigte mir es und hatte es mir teilweise versucht zu erklären (dann war leider Pause).

Also, ich kenne nicht mehr den genauen Wortlauf, aber es war ungefähr so (eckige Klammern ist ein Kommentar von mir):

[Ich glaube er meinte, dass die das am Beispiel 5+1=6 gemacht hätten, aber egal].

Zitat:
Die natürlichen zahlen werden mit zwei Punkten definiert.
1. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger
2. Jede Natürliche Zahl hat einen Vorgänger, ausser einer [0?]
Darauf baut sich das ganze auf...


Dann war Pause und nun ist der seit 4 Tagen krank...

-----

Kann jemand damit was anfangen?

Stimmt das wirklich? und kann mir dann jemand erklären, warum z.B. 1+1=2 ist? Bitte nicht auf Studien-Niveau, bin 10.Klasse einer Realschule, also bitte, wenn es geht für doofe (also nicht Mathematik-Studenten) erklären.... Würde das gehen? Bittö..........
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

PEANO - Axiome (eine Variante) - hier ohne 0

(i) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.

(ii) 1 ist die kleinste natürliche Zahl.

(iii) Ist M eine beliebige Menge natürlicher Zahlen, dann besitzt M ein kleinstes Element.

(iv) Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegen nur endlich viele weitere natürliche Zahlen.

(v) Durch Abzählen, beginnend bei 1, durchläuft man in Einerschritten alle natürlichen Zahlen.


(I) besagt, dass es zu jeder natürlichen Zahl n einen Nachfolger n' gibt.
(v) besagt, dass dieser Nachfolger durch Addition der 1 gefunden wird

=>

n = 1 ist die erste natürliche Zahl (Symbol 1). Deren Nachfolger ist n' = n + 1, die zweite natürliche Zahl (Symbol 2).

=> n' = 2 = n + 1 = 1 + 1

So würde ich es begründen, warum 1+1=2 ist.
 
 
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das nächste Glied nach der "1" die Ziffer "2" zugeordnet bekommen hat. Wäe ihm )(%& zugeordnet worden, hieße es
1+1=)(%&

gruß Johko
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von johko
Weil das nächste Glied nach der "1" die Ziffer "2" zugeordnet bekommen hat. Wäe ihm )(%& zugeordnet worden, hieße es
1+1=)(%&

gruß Johko


es handelt sich also um eine "vereinbarung", dass nach der ziffer "1" die "2" folgt.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig ist aber, dass der Nachfolger einer Zahl durch Addition der "eins" gebildet wird.
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ja, dieses axiom muss man ebenfalls festlegen.
taraxacum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist 1+1=2?
2te Variante - mit NULL

Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl am vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält schlicht die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... ; also die nichtnegativen ganzen Zahlen. Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null definiert. Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, die Null auch als natürliche Zahl zu bezeichnen.


Peano-Axiome
Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.


1. 0 ist eine natürliche Zahl.

2. Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1, der wieder eine natürliche Zahl ist.

3. 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.

4. Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, d.h. n ` m, dann haben sie verschiedene Nachfolger, also n+1 ` m+1

5. Gilt für eine Menge X: 0  X und für jedes n  X ist auch n+1  X, so enthält X alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)
MCXSC Auf diesen Beitrag antworten »

Cool. Danke!

Aber eines versteh ich nicht:

Zitat:
(iii) Ist M eine beliebige Menge natürlicher Zahlen, dann besitzt M ein kleinstes Element.


Aber warum gibt es zwei verschiedene Varianten? Mit Null und ohne null?
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MCXSC
Cool. Danke!

Aber eines versteh ich nicht:

Zitat:
(iii) Ist M eine beliebige Menge natürlicher Zahlen, dann besitzt M ein kleinstes Element.


Aber warum gibt es zwei verschiedene Varianten? Mit Null und ohne null?


Weil 0 halt eine besondere Zahl ist Augenzwinkern Was man ja auch leicht sieht... Zum Beispiel an 0/0 - was ist das? Augenzwinkern
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Die Diskussion ist witzlos, ob die Null dazugehört oder nicht. Die internationalen Mathematikvereinigungen haben bisher keinen Standard entwickelt.

Problem ist, dass die NULL viel später als Zahl anerkannt wurde, als der Rest der nat. Zahlen.

Bis zum Mittelalter und danach, hat die Kirche die NULL abgelehnt. Sie ist also garnicht so alt, wie man immer denkt.
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt nicht ganz... es gab schon zu früheren zeit (irgendwo zwischen babylon und rom Augenzwinkern ) die null, nur das die kirche sich gegen die null (wie auch vieles andere) gewehrt hat.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig, aber die NULL als Zahl, das war sie nicht.

Die Babylonier hatten ein 60-er-Zahlensystem, und die Null diente nur als Platzhalter, hatte keinen "Wert"

Ich kann euch das Buch "Zwillinge der Unendlichkeit: Die Biographie der Zahl NULL" empfehlen - sehr interessant smile
taraxacum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alpha
[...] die kirche sich [...] gegen (wie auch vieles andere) gewehrt hat.



Ist das jetzt ein neues Rätsel oder bleibt mir der Beitrag ein Rätsel ?

Wenn hier ein allgemeines Frageforum wäre, schrieb ich

"Gegen was wehrt sich die Kirche" mit Fragezeichen.
Klar, ich würde "Kirche" auch genauer formulieren.

Ich wünsche allen eine besinnliche Adentszeit.

taraxacum
alpha Auf diesen Beitrag antworten »

ich will damit jetzt auf keinen fall ausdrücken, dass kirche schlecht ist (kam ein bischen so rüber)...
die kriche... damit meine ich den papst und allgemein die pastoren (damals gabs ja auch noch keine evangelisten) hatten ein festes weltbild und wollten nicht, dass daran gewackelt wird und sagten, dass jeder der nicht ihrem system entspricht ein ketzer ist. später in der aufklärung ist dann die macht der kirche entkräftet worden, aber damals war die kirche das allerhöchste, weil jeder dem gesetz gottes unterstellt war...

PS:
auch von mir nochmal eine gesegnete adventszeit smile

PS2:
was halltet ihr davon, wenn wir einen religionsthread aufmachen?
jama Auf diesen Beitrag antworten »

och nö, das wird bisschen zu OT Augenzwinkern
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das beim Studium folgendermaßen erklärt bekommen:
Ich verwende das Axiomensystem von Taraxacum. Das Konzept des Nachfolgers wird durch eine Funktion erklärt. Es gibt eine einstellige Funktion S(x), die zu jeder Zahl den Nachfolger bestimmt. Das hat noch nichts mit der Addition zu tun!!
Es gibt weiters das ausgeziechnete Element 0. 0 ist eine Konstante. Dann definiert man:
1:=S(0)
2:=S(S(0))=S(1)
3:=S(S(S(0)))=S(2)
...
Die Addition ist eine Funktion, die jedem Paar natürlicher Zahlen, eine weitere Zahl zuordnet. Sie ist folgendermaßen definiert:

a+0:=a
a+S(b):=S(a+b)

Erklärung: Wenn ich a plus dem Nachfolger von b rechnen will, dann rechne ich zunächst a+b, was ich schon kenne, bzw. erneut die Definition anwenden kann, und bilde dann den Nachfolger.
Damit kann man Beispielsweise 2+2 "berechnen":
2+2=2+S(1)=S(2+1)=S(2+S(0))=S(S(2+0))=S(S(2))=4

So ist die Addition in den natürlichen Zahlen erklärt.

Als Übungsaufgabe kann man damit 311+512 berechnen Augenzwinkern
taraxacum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martins1
Ich verwende das Axiomensystem von Taraxacum.


Richtigstellung !!

Das System ist von Peano, ich habe nur zitiert.
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eigentlich gemeint, dass ich mich auf das vom Taraxacum gepostete Axiomensystem stütze und nicht auf das von Mathefreak gepostete.

Ist aber etwas zweideutig geworden. Danke für die Klarstellung
taraxacum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martins1
Ich habe eigentlich gemeint, ....

Ist aber etwas zweideutig geworden.


War mir schon klar, nur die Ehre, die mir durch die mehrdeutige smile Formulierung zuteil wurde, die war mir zu viel.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist 1+1=2?
Ich fand es letztens in einer Übungsgruppe lustig, als wir behauptet haben, das 1+1=0 ist und die Tochter einer Mitstudentin aus ihrem Zimmer kam und sagte: Man seid ihr doof.... so schafft ihr das ja nie mit eurem Studium...jedes kleine Kind weiss ja, dass 1+1=2 ist.
Naja das kleine kind wusste halt nicht das wir uns Im |F2 (Restklassenkörper)befanden hehe
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist 1+1=2?
Zitat:
Original von Deakandy
Ich fand es letztens in einer Übungsgruppe lustig, als wir behauptet haben, das 1+1=0 ist und die Tochter einer Mitstudentin aus ihrem Zimmer kam und sagte: Man seid ihr doof.... so schafft ihr das ja nie mit eurem Studium...jedes kleine Kind weiss ja, dass 1+1=2 ist.
Naja das kleine kind wusste halt nicht das wir uns Im |F2 (Restklassenkörper)befanden hehe


Seid ihr aber gemein :P
Gockel Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. 1+1 ist ja gar nicht immer zwei. Nur im Bereich der uns vetrauten reellen Zahlen (und deren Erweiterungen).
Es lassen sich andere Mengen defnieren, in denen das nicht so ist. (z.B. die Restklassenringe)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Oder Matrizen. Dort ist erstmal gar nicht klar, was die 2 ist... Augenzwinkern
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Da spricht man dann aber auch nicht von 1, sondern eher 1-Element oder so..
Für die Gruppe der Quadratischen Matrizzen, für die es ein 1-Element gibt (sonst wäre es keine Gruppe), kann man, wenn man unbedingt will, auch ein 2-Element definieren (Addition gibts ja): 2 = (1+1).
jama Auf diesen Beitrag antworten »

schleichwerbung: Matrizenworkshop Augenzwinkern
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Meines Wissens hat sich nicht die Kirche gegen die Null gewehrt, sondern die Kaufleute des Mittelalters.
Bis zum Ende des Mittelalters hat man ja eh mit römischen Zahlen gearbeitet, da bestand kein Bedarf für die Null. Dann kamen die arabischen Zahlen "in Mode", aber das wollten die Kaufleute nicht, denn man kann durch einen kleinen Strich eine 0 in eine 6 oder 9 verwandeln und so Rechnungen leicht fälschen. Irgendwelche Zunftmeister schlugen sogar vor, wieder nur noch römische Zahlen zu verwenden.

Es ist immer 1 + 1 = 2. Auch im F_2! Nur dort ist 2 = 0... 8)

Gruss,
SirJective
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.kreuzgang.org/text2schild.php?smilie=7&fontcolor=000000&shadowcolor=C0C0C0&shieldshadow=0&text=Achtung%21+Beinahe+Off+Topic!

[OFF-TOPIC-AN]

Die Frage warum 1+1=2 ist mathematisch kaum zu erklären. Ein Rückgriff auf Axiome führt m.E. nicht groß weiter, da die Notwendigkeit bestehen würde, diese wiederum zu begründen, was letztlich zu einem infiniten Regess führen würde. Eine Alternative dazu wäre ein (wahloses) Festlegen, was aber einem Dogmatismus gleich kommt.
Anders ausgedrückt: man befindet sich mitten in dem von Hans Albert definierten "Münchhausen Trilemma".

Die Frage ist also eher philosophischer, den mathematischer Natur.

Über diese Frage wie aus einer Einheit eine Zweiheit wird, hat sich Sokrates schon Gedanken gemacht. Folgendes findet sich im sog "autobiographischen Exkurs" im Phaidon
Zitat:
Daß ich, sagte er, beim Zeus, gar weit entfernt bin, auch nur zu glauben, daß ich zu irgend etwas hiervon die Ursache wisse, da ich mir ja das nicht einmal gelten lasse, daß, wenn jemand eins zu einem hinzunimmt, dann entweder das eine, zu welchem hinzugenommen worden, zwei geworden ist oder das Hinzugenommene und das, zu welchem hinzugenommen worden, eben weil eins zu dem andern hinzugekommen, zwei geworden sind. Denn ich wundere mich, wie doch, als jedes für sich war, jedes von ihnen soll eines gewesen sein und sie damals nicht zwei waren, nun sie aber einander nahegekommen, dieses die Ursache gewesen ist, daß sie zwei geworden sind, die Vereinigung, daß man sie nebeneinander gestellt hat. Und ebensowenig, wenn jemand eines zerspaltet, kann ich mich noch überreden, daß wiederum dieses, die Spaltung, Ursache geworden ist, daß zwei geworden sind. Denn dies wäre ja eine ganz entgegengesetzte Ursache des Zweiwerdens als damals. Damals nämlich, weil sie einander näher gebracht wurden und eines zum andern hinzugesetzt, nun aber, weil eines von andern hinweggeführt und getrennt wird. Auch nicht, warum eines wird, getraue ich mich noch zu wissen, noch sonst irgend etwas mit einem Wort, warum es wird oder vergeht oder ist, nämlich nach dieser Art und Weise der Untersuchung, sondern ich mische mir eine andere auf gut Glück zusammen, diese aber lasse ich auf keine Weise gelten.


Mal praktisch illustriert, was er dort sagt (die Beispiele sind frei von mir erfunden und stehen so nicht bei Platon):

Meist ging der gute Sokrates über den Markt und gucke den Leuten bei der Arbeit zu.

Da sah er, wie ein Pferdehändler mit Pferden handelte. Der Händler hatte dort ein Pferd stehen und es kam jemand, der ihm ein weiteres verkaufte. Nun standen zwei Pferde da.
Aha, denkt sich Sokrates: Aus einer Einheit wird eine Zweiheit durch hinzufügen.

Er geht weiter und sieht jemanden, der Baumstämme bearbeitet und verkauft. Er sieht wie jener einen Stamm nimmt, ihn in der Mitte spaltet und nun dort zwei Stücke dort liegen.
Aha, denkt sich Sokrates: Aus einer Einheit wird eine Zweiheit durch zerspalten.

Aber Moment mal, denkt Sokrates weiter:
Es kann doch nicht sein, daß die Tatsache, daß aus einer Einheit eine Zweiheit wird, von zwei entgegengesetzen Ursachen abhängig ist.

verwirrt

Hier findet sich gleichsam der Beginn der platonischen Ideenlehre.

[/OFF-TOPIC-AUS]
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

Und OT gehts gleich weiter:
Zitat:
Original von juergen
Ein Rückgriff auf Axiome führt m.E. nicht groß weiter, da die Notwendigkeit bestehen würde, diese wiederum zu begründen, was letztlich zu einem infiniten Regess führen würde. Eine Alternative dazu wäre ein (wahloses) Festlegen, was aber einem Dogmatismus gleich kommt.
Anders ausgedrückt: man befindet sich mitten in dem von Hans Albert definierten "Münchhausen Trilemma".


Wieso würde das zu einem infiniten Regress führen? Ich komm mit meiner "Denke" nicht nach.
Sicherlich ist es ein Dogmatismus, aber das ist die Mathematik eben, denn sie beruht auf den Axiomen, die ich glaube von Peano, Dilbert und einigen Mathematikern zu beginn des 20. / am Ende des 19. Jhrs. festgelegt wurden.
Letzlich entspringen die Zahlen dem menschlichen Geiste und nicht der Natur, wie einige Pythagoreer zu behaupten wussten.


Zitat:
Über diese Frage wie aus einer Einheit eine Zweiheit wird, hat sich Sokrates schon Gedanken gemacht.


Diese interpretierst du doch bitte wohl selber in die Zahl 1 und 2. Jedoch ist diese Eigenschaften den beiden Zahlen nicht immanent, denn sie befinden sich in einem menschlichen Gedankengebäude und liefern uns wohl keine höheren Weisheiten, außer über uns selbst. smile
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Es ist immer 1 + 1 = 2. Auch im F_2! Nur dort ist 2 = 0... 8)


Das kann man so nicht sagen. Denn genaugenommen gibt es im keine 2, sondern nur die 1 und die 0. Das 2=0 ist ja mehr ein Hilfsmittel, sodass wir in den vertrauten natürlichen Zahlen rechnen können und erst anschliessend in den "projezieren". Betrachtet man den autonom, so ist dort 1+1=0 und eine 2 kannst du nichtmal angeben.

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Doch das kann ich. Vergessen wir mal kurz komplett alles was wir über natürliche Zahlen wissen. Alles was wir haben ist der F_2.

Darin haben wir ein neutrales Element der Addition, auch Nullelement genannt. Dieses bezeichnen wir mit 0. Außerdem haben wir ein neutrales Element der Multiplikation, Einselement genannt. Dieses bezeichnen wir mit 1.
Dies ist Konvention und in diesem Sinne verstehe ich 0 und 1 mathematisch - egal wo sie auftreten.

Nun haben wir eine Addition, und können 1 und 1 addieren. Diese Summe - egal was da rauskommt - bezeichnen wir mit 2.
Dies ist Konvention und in diesem Sinne verstehe ich die 2 mathematisch - egal wo sie auftreten.

Und nun gilt, nach Definition, 1 + 1 = 2.
und außerdem, da wir uns im F_2 befinden, ist 1 + 1 = 0.
Also ist 2 = 0.

Ich habe hier gerade nicht mit den vertrauten natürlichen Zahlen gerechnet, sondern nur mit den Elementen und Rechenregeln des F_2. Wenn die die Bezeichnungen 0, 1, 2 hier unangemessen erscheinen sollten, nenne sie n, e, z. Dann verstehe ich die ursprüngliche Frage so: Warum ist e + e = z. Und dies gilt immer - per Definition.

Jedoch habe ich damit vielleicht die ursprüngliche in einem Sinne interpretiert, der nicht gemeint war, nämlich im mathematischen Sinne. Oder kennst du eine andere mathematische Bedeutung der Zeichen 1, +, und 2, als die von mir auf den F_2 angewendete?

Gruss,
SirJective
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt erklär mir nochmal sinnvoll, warum du im Körper mit 2 Elementen für diese Elemente 3 Bezeichnungen einführst Augenzwinkern

PS: Mir wurden mal in meiner AlDi-Klausur Punkte abgezogen, weil ich ein Ergebnis so angegeben hatte (zumindest vom Prinzip her): -2 mod 7

Daneben stand dann: falsch, Ergebnis ist 5 mod 7 :]

Und dabei ist die -2 imho da ja noch sinnvoller, als wenn ich etwa 12 mod 7 geschrieben hätte.
Hab mich dann feste beschwert und Recht bekommen 8)

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Und jetzt erklär mir nochmal sinnvoll, warum du im Körper mit 2 Elementen für diese Elemente 3 Bezeichnungen einführst Augenzwinkern


Soll ich? smile
Weil die Antwort der Frage für den F_2 die Definition von "2" verlangt.

Nu's aber jenuch...
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

soll der F_2 nicht ein Körper? aber wenn 1+1=2 dann liegt das ergebnis doch garnicht mehr in dem Körper, weil 2 kein element daraus ist verwirrt
hmm und wenn 2 = 0 ist dann ist die 2 auch das neutrale element? dann wäre ja zb 1+2=1 oder 2+2=0... hmm ich find das stiftet mehr verwirrung als es klarheit schafft ^^
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, frei nach dem Motto:
Sei a eine Größe, wir nennen sie b.
Die Aussage 1+1=2 macht in F_2 keinen Sinn, da F_2 nur aus den Elementen 0 und 1 besteht; so etwas wie 2 gibt es dort einfach nicht.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr meinen Beitrag gelesen?

Zitat:
Original von SirJective
Nun haben wir eine Addition, und können 1 und 1 addieren. Diese Summe - egal was da rauskommt - bezeichnen wir mit 2.
Dies ist Konvention und in diesem Sinne verstehe ich die 2 mathematisch - egal wo sie auftreten.
...
Ich habe hier gerade nicht mit den vertrauten natürlichen Zahlen gerechnet, sondern nur mit den Elementen und Rechenregeln des F_2. Wenn die die Bezeichnungen 0, 1, 2 hier unangemessen erscheinen sollten, nenne sie n, e, z. Dann verstehe ich die ursprüngliche Frage so: Warum ist e + e = z. Und dies gilt immer - per Definition.


navajo: Im F_2 ist 2 = 0. Warum, hab ich früher erläutert. Und ja, 2 ist das neutrale Element des F_2. Ebenso wie 4 und 6 und -28.

movarian: Im F_2 gibt es "so etwas wie 2": Nämlich 1+1. Und diese zwei ist eben null. Und die Aussage "1+1=2" ergibt einen Sinn, da 2 als 1+1 definiert ist.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Heut morgen fiel mir noch etwas dazu ein:

"Wie kann es sein, dass für jede rationale Zahl x gilt, dass

ist - wo doch 1 das neutrale Element der Multiplikation ist?"

Denkt mal drüber nach, und über den Zusammenhang zum Phänomen 2=0 im F_2.

Gruss,
SirJective
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Da sehe ich leider absolut keinen Zusammenhang.
2*1/2=1, schön, damit es ist nicht weiter verwunderlich, dass x*(2*1/2)=x ist. 2/2 ist hier ein zu berechnender Ausdruck, nicht jedoch wurde für das neutrale Element der Multiplikation mit 2/2 eine neue Bezeichnung definiert.
In F_2 gilt auch x+(1+1)=x und daran stört sich von uns auch niemand.

2 ist, wenn man von den reellen Zahlen ausgeht, einfach definiert durch 2:=1+1 und ist damit natürlich selbst eine reelle Zahl. Doch F_2 hat absolut nichts mit den reellen Zahlen zu tun und dass man hier für die neutralen Elemente ebenfalls die Bezeichnungen 0 und 1 wählt, scheint etwas unglücklich zu sein, wie man an dir sieht.
Besser wäre vielleicht die Schreibweise:
1_R+1_R=2_R
Allerdings
1_F2+1_F2=0_F2, da es 2_F2 nunmal nicht gibt. Wenn du in F_2 dein 1_F2+1_F2=2 schreibst, sag mir bitte, was ist diese 2? Ist es die reelle Zahl 2_R? Ist es die nicht existierende Zahl 2_F2?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

SirJective übernimmt die Zeichenkonvention 2:=1+1 aus den reellen Zahlen und überträgt diese dann auf den und bennent den Wert 1+1 deswegen mit 2.

Würde man irgendeine allgemeine Grösse im Kontext des angeben und diese dann durch irgendwelche Bedingungen einschränken, so dass sie eindeutig ist, und diese dann bestimmen ("ausrechnen"), so käme man in dem Fall auch auf eine Aussage wie etwa x=0. Das dieses x hier dann eben nicht x sondern 2 heisst, ist prinzipiell nicht falsch, aber hat nix mit der reellen 2 im üblichen Sinne zu tun.

Ansonsten: Es gibt Argumente dafür und dagegen, ihr habt sie jeweils schon gebracht, ich würde sagen ein typischer Fall von "Ansichtssache".

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von movarian
Da sehe ich leider absolut keinen Zusammenhang.
2*1/2=1, schön, damit es ist nicht weiter verwunderlich, dass x*(2*1/2)=x ist. 2/2 ist hier ein zu berechnender Ausdruck, nicht jedoch wurde für das neutrale Element der Multiplikation mit 2/2 eine neue Bezeichnung definiert.


2/2 ist eine rationale Zahl. Sie ist das Ergebnis der Division 2 : 2.

Das heißt, 2 : 2 ist ein Term, der ganze Zahlen enthält; 2/2 dagegen ist bereits eine Zahl.

2/2 ist eine andere Bezeichung für die rationale Zahl 1/1, ebenso wie 3/3, 4/4 und (-16)/(-16).

Mit deinem Argument könnte man auch sagen, -3 ist noch keine Zahl, sondern das Ergebnis der Subtraktion von natürlichen Zahlen: 0 - 3. (Auf diesem Weg werden die ganzen Zahlen aus den natürlichen konstruiert.) Jedoch werden wir beide darin übereinstimmen, dass -3 eine eigenständige ganze Zahl ist.


Zitat:

2 ist, wenn man von den reellen Zahlen ausgeht, einfach definiert durch 2:=1+1 und ist damit natürlich selbst eine reelle Zahl. Doch F_2 hat absolut nichts mit den reellen Zahlen zu tun und dass man hier für die neutralen Elemente ebenfalls die Bezeichnungen 0 und 1 wählt, scheint etwas unglücklich zu sein, wie man an dir sieht.


Ich hatte bereits vorgeschlagen, bei Verständnisproblemen andere Bezeichnungen für die Elemente des F2 einzuführen. Tun wir das also:

Zitat:

Besser wäre vielleicht die Schreibweise:
1_R+1_R=2_R
Allerdings
1_F2+1_F2=0_F2, da es 2_F2 nunmal nicht gibt. Wenn du in F_2 dein 1_F2+1_F2=2 schreibst, sag mir bitte, was ist diese 2? Ist es die reelle Zahl 2_R? Ist es die nicht existierende Zahl 2_F2?


Meine 2_F2 ist definiert als diejenige Zahl des F2, die bei der Addition 1_F2 + 1_F2 herauskommt. Genau das hatte ich geschrieben. Und mit dieser Definition ist 2_F2 ein Element des F_2, das mit 0_F2 übereinstimmt.

@Ben:
SirJective ist nicht der einzige, der die von den ganzen Zahlen (nicht den reellen) abgeleitete Bezeichnungweise für die endlich oft Addierten des neutralen Elements der Multiplikation eines Ringes übernimmt.
Bereits die Namen "0" und "1" für die neutralen Elemente eines Ringes sind Teil dieser Bezeichnungsweise.
Dies bereitet so lange Schwierigkeiten, bis man erkannt hat, dass dies nur Namen für Elemente einer mathematischen Struktur sind, und je nach Struktur andere Elemente mit anderem Verhalten bezeichnen. Wollte man ganz penibel darauf achten, keine Namen doppelt zu vergeben, müsste man dem Vorschlag von movarian folgend alle Namen mit dem Namen der Struktur versehen, und also 0_N, 0_Z, 0_Q, 0_R, 0_C, 0_F2 unterscheiden, denn es sind Elemente verschiedener Strukturen.
Immanuel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
2/2 ist eine rationale Zahl. Sie ist das Ergebnis der Division 2 : 2.


Also erstmal SirJective wer lesen kann ist klar im Vorteil. Er will damit nur sagen, dass du mit deinem Beispiel, dass x*2/2 = x ist nicht wirklich viel über das Problem im F2 ausgesagt hast. Das 2/2 = 1 ist ist es nicht verwunderlich, dass x*2/2 = x*1 = x ist. Trotzdem würde man niemals das Multiplikative Neutrale als 2/2 definieren.

Also für dich nochmal zum Nachdenken...
Es gilt nicht 1+1:=2 in allen Zahlenräumen. Es ist so definiert aber NUR im reelen Zahlenraum und seinen Erweiterungen.

Im F2 haben wir folgende Elemente 0 und 1. Es gibt das Element 2 hier einfach nicht. Genauso ist 1+1+1 hier nicht gleich 3 sondern numal gleich 1, da 1+1+1 = 1+(1+1) = 1 + 0 = 1 ist. 1+1 ist hier eindeutig 0, da es sonst niemals zu vorne gezeigter eindeutigen Rechnung kommen kann. Sonst kannst du 1+1+1 im F2 als 1,3,5,7,9 schreiben, da 1+1 =2 ist 2 aber gleich 0 und da ja 4 auch gleich 0 wäre usw, käme man auf keinen grünen Zweig.

Also ist 1+1 = 0 und nicht gleich 2 weil es kein Element 2 gibt.
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