Automorphismen

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merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismen
Ich soll zeigen das die Menge der Automorphismen der Gruppe G (Aut G) eine Untergruppe der Gruppe aller Permutationen von G (SG) ist.

Kann mir dabei jemand helfen?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Aut(G) ist ja eine Teilmenge von S_G.

Jetzt musst du nur noch das Untergruppenkriterium überprüfen.

D.h. du hast f und G in Aut(G) und musst jetzt zeigen, dass f^{-1}g auch drin liegt.

Was musst du denn dann genau zeigen? Und wie kannst du das verwenden, was du schon gegeben hast?

Wenn du das beantworten kannst, dann bist du eigentlich schon fertig.

Wenn nicht, dann melde dich einfach wieder und sag, wo du nicht weiter kommst.

Gruß
Anirahtak
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau wie ich das Untergruppenkriterium anwenden soll.

Eine der beiden Bedingungen soll erfüllt sein, aber wie zeige ich das?

1.

2. und
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo merlin,

Du nimmt also die Abbildungen f und g aus Aut(G).

Welche Eigenschaften haben dann f und g?

Gelten diese Eigenschaften auch für g^{-1}?
Wieso?

Gruß
Anirahtak
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich schreibe mal kurz was mir klar ist:

Ich soll zeigen das Aut G eine Untergruppe von SG ist.

G ist eine Gruppe. Es gibt also ein neutrales Element ein inverses Element und das Assoziativgesetz gilt.

SG ist auch eine Gruppe!

Aut G ist f : G --->G also G in sich selber abgebildet. Also ein Morphismus (in diesem Fall ein Automorphismus) zudem ist der Automorphismus noch bijektiv.

Mit SG weiß ich nicht so viel anzufangen.

Und warum ist Aut G eine Teilmenge von SG?

Ich würde eine weitere kleine Hilfe super finden.
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

S_G ist doch die Menge aller bijektiven Abbildung aus der Menge G in die Menge G.

Aut(G) ist die Menge aller Automorphismen von G noch G.
Und was ist jetzt ein Automorphismus? - ein Abbildung von G nach G, die linear und bijektiv ist.

Also ist doch jede lineare bijektive Abb. eine bijektive Abb. und somit ist S_G eine Teilmenge von Aut(G).

Wenn du jetzt also f aus Aut(G) hast und jetzt zeigen willst, dass f^{-1} auch aus Aut(G) ist, welche Eigenschaften von f^{-1} musst du dann nachweisen?

Gruß
Anirahtak
 
 
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muß nachweisen das f ein inverses Element hat ?
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

naja, eigentlich nicht. Du weiß doch, dass f bijektiv ist, und eine Abbildung f:X -> Y ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g: Y -> X gibt mit fg=id=gf. Und dieses g ist dann die inverse Abb zu f.

Du musst zeigen, dass f^{-1} wieder in Aut(G) liegt, wenn f aus Aut(G) ist bzw., dass f ein inverses Element in Aut(G) hat.
D.h. du musst zeigen, dass f^{-1} bijetiv ist (das weißt du schon!) und dass f^{-1} ein Homomorphismus ist.

Klappt das?

Gruß
Anirahtak
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