komplexe funktion ableiten

09.04.2007, 14:05

komplexezahl

komplexe funktion ableiten

servus

die aufgabe ist folgende:
$\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z\in C \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{az+b}{cz+d} \end{eqnarray*}$ holomorph? und wenn ja gebe die ableitung an.

ok, soviel zur aufgabe. polyonome und rationale polynomfunktionen sind immer differenzierbar in C. ich schätze mal das es aber nicht als antwort reichen wird. ich habe mir bis jetzt überlegt per cauchy-riemannschen differentialgleichungen zu zeigen das az+b und cz+d differenzierbar sind. kann ich daraus folgern das f dann ebenfalls differenzierbar ist vorausgesetzt cz+d ungleich 0? den bruch per cauchy zu zeigen wäre etwas aufwendig, müsste theoretisch aber auch klappen. gibts da vielleicht noch einen schnelleren weg?

die ableitung bilden fällt mir etwas schwerer. ich hab so angefangen(linierisiert):

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{az+b}{cz+d}=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0) \end{eqnarray*}$

und jetzt eigentlich nur nach f' aufgelöst, ist das der richtige weg?

bye

09.04.2007, 17:33

phi

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Wenn du nach f' auflöst, müsste die Quotientenregel rauskommen. Die kannst du aber auch gleich anwenden (z so lassen), und dann erst z=x+iy einsetzen.

Um aber C-R-DGl. zu zeigen, erst z=x+iy einsetzen, damit f in u und v aufgeteilt werden kann.

Und genau angeben für welche z die Funktion nicht differenzierbar ist.

mfg

09.04.2007, 17:54

komplexezahl

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ok, danke für die hilfe.

also als ableitung bekomme ich raus:

$\begin{eqnarray*} f'(z)=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2} \end{eqnarray*}$

und f ist nicht differenzierbar an den stellen bei denen

$\begin{eqnarray*} cz+d=cx+d+icy=0 \end{eqnarray*}$

ergibt. also falls

$\begin{eqnarray*} c=0~, y=bel,~ d=0,~ x=bel \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} y=~0, c\not=0,~d=bel, ~x=\frac{-d}{c} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} y=0,~ c=bel,~ x=0 ,~ d=0 \end{eqnarray*}$

ist die funktion nicht differenziebrar.

wenn man f=u/v betrachtet kann man per c-r-dgl. leicht zeigen, dass u diffbar ist und v ebenfalls. also daraus kann ich dann folgern das u/v ebenfalls diffbar ist. wars das dann schon?

09.04.2007, 17:55

Leopold

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RE: komplexe funktion ableiten

Zitat:

Original von komplexezahl
polyonome und rationale polynomfunktionen sind immer differenzierbar in C.

Du sagst es - und das reicht! Denn der Definitionsbereich ist, falls $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist (dann muß $\begin{eqnarray*} d \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, sonst gibt's die Katastrophe), ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , und, falls $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} - \left\{ - \frac{d}{c} \right\} \end{eqnarray*}$ , also auf jeden Fall offen. Und auf offenen Mengen bedeutet komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie dasselbe.

Und noch etwas:

"und wenn ja gebe die ableitung an"

Ist das jetzt neuer Mathe-Vorlesungs-Sprech? Mir zieht es da echt die Socken aus! Der Imperativ von "geben" heißt immer noch "gib". Ich lese solchen Unsinn immer öfter hier im Board. Wird denn heute an Universitäten auf deutsche Sprache keinen Wert mehr gelegt? Oder hast du dieses Sprachverbrechen ganz ohne Mittäter begangen?

09.04.2007, 18:19

komplexezahl

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RE: komplexe funktion ableiten

Zitat:

Original von Leopold
Du sagst es - und das reicht! Denn der Definitionsbereich ist, falls $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist (dann muß $\begin{eqnarray*} d \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein, sonst gibt's die Katastrophe), ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , und, falls $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} - \left\{ - \frac{d}{c} \right\} \end{eqnarray*}$ , also auf jeden Fall offen. Und auf offenen Mengen bedeutet komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie dasselbe.

ok, danke. dann ist der defnitionsbereich und damit die aufgabe geklärt.

Zitat:

Und noch etwas:

"und wenn ja gebe die ableitung an"

Ist das jetzt neuer Mathe-Vorlesungs-Sprech? Mir zieht es da echt die Socken aus! Der Imperativ von "geben" heißt immer noch "gib". Ich lese solchen Unsinn immer öfter hier im Board. Wird denn heute an Universitäten auf deutsche Sprache keinen Wert mehr gelegt? Oder hast du dieses Sprachverbrechen ganz ohne Mittäter begangen?

sorry, das ist auf meinen mist gewachsen. war ein dummer fehler.

beste grüße
kz

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