Lagrangesche Identität

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrangesche Identität
Hi! Wir haben mal wieder einen nicht so schönen Beweis über die Lagrangesche Identität zu führen. Leider komme ich nicht so recht weiter, und verstehe auch teilweise die Notation nicht. Also erstmal die Aufgabe: Es seien und mit . Beweisen Sie:



und folgern Sie daraus die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im

Was bedeutet der Index unter der letzten Summe, buzw. wie könnte man das noch anders schreiben?

Meine Idee war erstmal hinzuschreiben, was denn eigentlich die einzelnden Ausdrücke bedeuten. Also:



Analog für . Auf der rechten Seite kann ich doch schreiben weil ich weiß, dass :



Dann steht doch aber auf der linken Seite bereits das da, was schon auf der rechten Seite in den ersten beiden Summen steht, oder??? Wo liegt da der Denkfehler? Und wie kann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung abgeleitet werden, wenn ich hier nicht mal eine Ungleichung sehe??? Die Ungleichung ist mir im Reellen bekannt.

Danke für eure Hilfe!!! Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

bedeutet, daß in den angegebenen Grenzen über alle Paare zu summieren ist, wo ist.

Beispiel :










Und bei dir ist

vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab ich jetzt aber letztendlich nicht für den Beweis verstanden. Eigentlich steht doch schon das gleiche auf beiden Seiten da, ohne das ich nochmal über alle Paare summieren müsste, oder??? Was ist denn der Fehler in meiner DEnkweise oben? Ich habe doch richtig umgeformt???
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Ich muss nochmal nachfragen. Der Ausdruck in der von mir oben angegebene Gleichung müsste also sein:



Kann sich nochmal bitte jemand meine Ausführungen von oben anschauen? Bin mir leider echt unsicher wie ich den Beweis führen soll, wenn ich die Aussage nicht richtig verstanden habe. Hilfe da stures nachrechnen weiter?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Die koeffiezienten a und b haben doch links nur jeweils einen Indizee, warum dann recht aufeinmal zwei ? (x stand bei Leopold ja für ab)





Wenn ich mich recht errinnere ist die Lagrangsche Identität, die C-S-Ungleichung wenn aus der Ungleichung eine Gleichheit im IR^3 wird.

Schreib mal Cauchy Schwarz & L-Identität mal in Kurzform auf, dann kann ich dir eher sagen wie's weitergeht.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Für Ausdrücke wie gilt das gleiche wie für Quadrate im Reellen: immer größer-gleich Null.

Damit kannst du eine Ungleichung basteln.

Zur Orientierung, betrachte den Fall mit n=3 in IR:

Lagrange-Identität im reellen Fall, n=3:
Zitat:


Der Term, dessen Notation dir zunächst unklar war, ist die Verallgemeinerung des Kreuzprodukts, ein äußeres Produkt, welches auch aus lauter Determinanten gebildet wird.

Zitat:


Isoliere diese auf einer Seite (+() , -(...) ), zeige das diese größer-gleich Null werden.


Die strikte Ungleichung gilt dann genau dann, wenn nicht alle x_lk's (siehe Leopolds Abkürzung) Null werden.

Dann steht die Behauptung im R^3 schon da.

Mit leichten Modifikationen, übertrage es auf den allgemeinen Fall C^n
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

@phi: Danke für die Antworten. Ich habe nun aber doch heute irgendwie nochmal drübergesehen und gerechnet. Zunächst erstmal schließe ich an den Thread von oben an und da meinte ich ja, dass ich die Beträge erstmal aufgelöst habe. Nun steht also da:



Wenn ich das mal sukzessiv nun aufschreibe erhalte ich doch:



dann ist die linke Seite:



Und das ist doch gerade das was auch dasteht. Ich ziehe sozusagen die "gemischten" Faktoren ab, wobei die unter der Summe



stehen.

Kann man das eleganter beweisen? Wegen der C.-S.-Ungleichung. Folgt die jetzt nicht direkt daraus? Ansonsten nochmal auf die Frage hin. Wir hatten damals geschrieben. Für gilt:



Vielen Dank für eure Hilfe Freude
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise drösel ich auch gern alles auf, wenn mir die Abkürzungen nicht geläufig sind. Aber hier finde ich es umgekehrt "eleganter" wenn man sich klar macht, dass

einfach der Betrag einer komplexen Zahl ist, also der Abstand vom Ursprung (immer reel und immer positiv oder Null ! )

ist ein Skalarprodukt, oder zumindest eine Bilinearform

ist der quadrierte Betrag des durch das äußere Produkt definierten Vektors.


Wenn du bei deiner Definition die Wurzel ziehst :
Zitat:
C-S :



Und nun muss gezeigt werden:



Wurzel ziehen ergibt Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@phi: danke für deine antwort. ist natürlich auch ne gute idee das so zu beweisen, hab es aber jetzt doch durch direktes nachrechnen gemacht. aber trotzdem danke für den tipp - muss es morgen abgeben und mal sehen was mein prof dazu sagt Augenzwinkern
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