Rang von Matrizen; vollst. Induktion

16.11.2004, 18:35

anjaundlukas

Rang von Matrizen; vollst. Induktion

Hallo,

kann mir bitte jemand erklären, so, dass ich´s versteh, wie man den Rang einer Matrix bestimmt ?!?!

Außerdem sollen wir bei einer Aufgabe eine vollst. Induktion bei einer Matrix durchführen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 1 & 1 ... 1 & 1 \\ -1 & a & 1 ... 1 & 1 \\ -1 & -1 & a ... 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ = ((a+1)hoch n + (a-1) hoch n)/ 2

Wie mache ich denn dass ? Sonst setzt man doch immer im Induktionsanfang n=1; aber wenn ich auf der linken Seite kein n, sondern nur a habe ... ?!?

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte !

MfG
anja

16.11.2004, 19:29

Svende

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Hallo! Kannst du eine Matrix in die Treppennormalform umformen? Weil dann ist das mit den Rngen ganz einfach?

16.11.2004, 20:17

anjaundlukas

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Hallo,

was ist denn eine Treppennormalform ? Ist das der Gaußsche Algoritmus ?

16.11.2004, 22:33

Svende

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Ja, so in etwa. du formst ja A so um, dass die Treppennormalform besteht, die Stellen, wo dann eine 1 steht, inennt man Pivot-Positionen.Die zählst du zuammen und hast den Rang der Matrix. Ich gebe dir mal ein Beispiel und hoffe, du verstehst es dann.

A=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -3\\ 3 & 10 & -6 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Element M34 (R).

Das formst du um:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

T hat zwie Pivot- Positionen (1,1) und (2,2). Das heißt Rg(A)=2

17.11.2004, 07:04

anjaundlukas

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Huhu,

also kann ich davon ausgehen, dass die Pivot- Position (hat der Prof. noch nie erwähnt) auf der Hauptdiagonalen liegt und jede 1 quasi einen Rang darstellt !?! Unterhalb der Hauptdiagonalen müssen auch Nullen stehen, sonst geht´s net - oder ?

Wenn das jetzt so ist, wie ich eben sagte, hab ich´s begriffen!!! Gott

Danke dir schonmal im voraus.

17.11.2004, 07:48

Poldi

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Die Pivot-Positionen müssen nicht zwingend auf der Hauptdiagonalen liegen. Alle Stellen links von der P-P in deren Zeile müssen 0 sein und ebenso alle Stellen über und unter der P-P in ihrer Spalte.

Vielleicht kann sich nochmal jemand Deiner Frage nach der vollständigen Induktion annehmen. Das würde mich auch interessieren!!!

Gruß Poldi

17.11.2004, 22:04

Ben Sisko

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion

Zitat:

Original von Poldi
Die Pivot-Positionen müssen nicht zwingend auf der Hauptdiagonalen liegen. Alle Stellen links von der P-P in deren Zeile müssen 0 sein und ebenso alle Stellen über und unter der P-P in ihrer Spalte.

Das markierte ist falsch. Es genügt unter der Pivotposition (und eben, wie du richtig sagst, links davon).

Zur Induktion: Auf der linken Seite hast du nie ein n, allerdings muss im Induktionsanfang trotzdem n=1 sein. Und was ist n? Richtig, die Größe der Matrix. D.h. im Induktionsanfanf hat man einfach eine 1x1-Matrix.

Im Induktionsschritt muss man dann von einer nxn-Matrix auf eine (n+1)x(n+1)-Matrix schliessen. Tipp: Determinante entwickeln nach....

Gruß vom Ben

Edit: Habe gerade in einem anderen thread gesehen, dass es wohl Definitionen gibt, wo Unterschiede zwischen Treppenform und Treppennormalform gemacht werden, möglicherweise ist es also richtig, was du gesagt hast, Poldi (Nullen auch über den Pivots). Um den Rang zu erkennen reicht es aber trotzdem, wenn man links und unterhalb der Pivots Nullen hat. Und man erspart sich Rechenarbeit.

18.11.2004, 13:20

klarsoweit

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
also ich hätte einen Induktionsbeweis, dummerweise habe ich aber beim Induktionsschritt das Problem, dass ich die Voraussetzung nicht nur für n (was ja zulässig ist), sondern auch für n-1 verwende. Kann jemand sagen, ob das bei der vollständigen Induktions zulässig ist. Muß man eventuell beim Induktionsanfang die Behauptung für n=1 und für n=2 zeigen?

19.11.2004, 00:16

Ben Sisko

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
Ja, da muss man wohl den Induktionsanfang erweitern.

Die Induktionsvoraussetzung darf man auch so formulieren, dass die Behauptung für alle i mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ gilt (wenn die Induktion bei 1 ansetzt).

Gruß vom Ben

19.11.2004, 10:16

klarsoweit

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RE: Rang von Matrizen; vollst. Induktion
zu zeigen war:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 1 & 1 ... & 1 \\ -1 & a & 1 ... & 1 \\ -1 & -1 & a ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ -1 & ... & -1 & a\end{vmatrix} = \frac{(a+1)^n + (a-1)^ n)}{2} \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: Die Behauptung für n=1 und n=2 ist leicht zu zeigen.
Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für n und n-1 mit n>=2. Ich zeige, dass dann die Behauptung auch für n+1 gilt.
Für die Berechnung der Determinante der (n+1)x(n+1)-Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 ... & 1 \\ -1 & a & 1 ... & 1 \\ -1 & -1 & a ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ -1 & ... & -1 & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mache ich folgende Umformungen:
1. Subtrahiere von der 1. Zeile die 2. Zeile.
2. Subtrahiere von der 1. Spalte die 2. Spalte.
Dann erhält man folgende (n+1)x(n+1)-Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a & 1 - a & 0 ... & 0 \\ -1 - a & a & 1 ... & 1 \\ 0 & -1 & a ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & -1... & -1 & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Berechne nun die Determinante durch Entwicklung nach der 1. Zeile und wende die Induktionsvoraussetzungen an. Es ist dann:
$\begin{eqnarray*} Det = 2a * \frac{(a+1)^n + (a-1)^ n)}{2} - (1 - a) * \begin{vmatrix} -1 - a & 1 & 1 ... & 1 \\ 0 & a & 1 ... & 1 \\ 0 & -1 & a ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & -1... & -1 & a\end{vmatrix}_{(nxn-Matrix)} \end{eqnarray*}$

Auf die letzte Determinante die Induktionsvoraussetzung für n-1 anwenden. Der Rest ist noch etwas Scheibarbeit und wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.

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