Beweis Zahlenfolge

16.11.2004, 18:55	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Zahlenfolge Hi. Ich sitze an folgender Aufgabe und mir fällt nichts ein wie ich sie lösen soll. Sei (an) eine Folge in R und a element R Man Beweise: a ist Häufungswert von (an) <---> Es gibt eine Teilfolge von (an), die gegen a konvergiert. Mir fällt dazu nichts brauchbares ein.
16.11.2004, 19:42	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Was muss denn gelten, damit a ein Haeufungspunkt einer Menge oder einer Folge ist? Warum kann a kein Haeufungspunkt von (an) sein, wenn es keine Teilfolge gibt, die gegen a konvergiert? (indirekter Beweis) Gruesse Carsten
16.11.2004, 20:29	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also den Häufungswert haben wir in Worten ungefähr so definiert: Wenn a ein Häufungswert ist dann liegen in jeder Epsilon Umgebung von a unendlich viele Terme der Folge. Wenn die Teilfolge gegen a konvergiert dann ist sie auf jeden fall beschränkt. Und es liegen unendlich viele Terme in der Epsilonumgebung von a. Damit wäre "<--" bewiesen. Wie ich aber "-->" zeigen soll weis ich noch nicht so recht. "Warum kann a kein Haeufungspunkt von (an) sein, wenn es keine Teilfolge gibt, die gegen a konvergiert?" . Weil dann die Definition des Haeufungswertes verletzt wird??? warum ist mir allerdings nicht so recht klar.
16.11.2004, 20:36	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du weißt also, dass in jeder $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung von a unendlich viele a_n liegen. Jetzt musst du nur noch eine Folge auswählen, die eben gegen a konvergiert. Betrachte doch mal die Folge $\begin{eqnarray} ({\epsilon}_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} {\epsilon}_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und dann Folgenglieder von a_n die da drin liegen. Kommst du drauf? Gruß Anirahtak
16.11.2004, 20:58	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmmh. Also mit wachsendem n wird die Epsilon Umgebung um a immer kleiner. Und ich denke mal du willst darauf hinaus das trotzdem noch undenlich viele a_n da drin liegen. Wie ich das aber zeigen kann weis ich nicht.
16.11.2004, 21:01	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
es liegen ueberhaupt noch Elemente in der Epsilonumgebung, da a ein Haeufungspunkt ist. Waeren es nur endlich viele, dann gabe es eines was am naechsten an a dran ist, dann gaebe es aber kein ..... ? Gruesse Carsten
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16.11.2004, 21:26	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
...dann gaebe es keinen Grenzwert der Teilfolge und diese wäre nicht konvergent???
16.11.2004, 22:49	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn es nicht unendlich viele $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ in der Epsilonumgebung gaebe, dann gaebe es ein $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit kleinstem Abstand - sagen wir d - zu a. Und in der $\begin{eqnarray} \epsilon \mbox{-Umgebung mit }\epsilon = \frac{d}{2} \end{eqnarray}$ laege dann kein weiteres $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mehr. Was ein Widerspruch zum Haeufungspunkt ist. Es laesst sich allgemein zeigen, dass bei einem Haufungspunkt a eine Folge oder Menge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ in jeder Epsilonumgebung unendlich viele $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ liegen. Gruesse Carsten
17.11.2004, 12:48	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank!!!!

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