Konvexe Kegel

16.11.2004, 19:17	Ratlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexe Kegel Hallo, ich habe 2 Fragen zum Thema konvexe Kegel. Ich soll beweisen oder widerlegen, das jeder Kegel konvex ist. Einen Kegel haben wir so definiert: Ist $\begin{eqnarray} x \in K \Rightarrow \alpha x \in K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \alpha \geq 0 \end{eqnarray}$ Ich weis, das nicht jeder Kegel konvex ist, und habe versucht mit der Konvexitätsbedingung zu argumentieren: $\begin{eqnarray} \lambda x + (1-\lambda )x\alpha \in Kegel, \lambda \in [0,1] \end{eqnarray}$ nach umformung : $\begin{eqnarray} x(\lambda(1-\alpha)+\alpha) \in Kegel \end{eqnarray}$ Aber ob ich hier auf dem richtigen Weg bin??? Und meine 2.te Frage wäre zum Thema polyedrische Kege K, also solche der Form: $\begin{eqnarray} K :={ x \in R^n : Ax \leq 0 } \end{eqnarray}$ wobei A eine MxN - Matrix ist. $ Angeblich hat jeder dieser Kegel nur höchstens einen Extrempunkt, nämlich den Ursprung. Ein Extrempunkt ist definiert als ein Punkt, welcher nicht als echte konvexkombination dargestellt werden kann, d.h. wenn aus : z = $\begin{eqnarray} \lambda x + (1-\lambda )y , \lambda \in (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = x = y \end{eqnarray}$ folgt. Aber auch hier hab ich ehrlichgesagt keine Ahnung. Für schnelle Hilfe wäre ich also sehr dankbar!
17.11.2004, 00:09	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersten Frage: Nimm dir doch einfach den simplen Kegel $\begin{eqnarray} K = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\;:\; \|x\| \le \|y\| \}\;. \end{eqnarray}$ Es sind (1,1) und (1,-1) in K enthalten. Wäre K konvex, so wäre auch $\begin{eqnarray} \lambda (1,-1) + (1-\lambda)(1,1)\in K\;\text{ fuer alle }\;\lambda\in (0,1)\;. \end{eqnarray}$ Aber es ist $\begin{eqnarray} \lambda (1,-1) + (1-\lambda)(1,1) &= (\lambda,-\lambda) + (1-\lambda,1-\lambda)\\ &= (\lambda + 1 - \lambda, -\lambda + 1 - \lambda)\\ &= (1, 1 - 2\lambda)\;. \end{eqnarray}$ Und für lambda = 1/2 ist das der Punkt (1,0), der nicht in K enthalten ist. Widerspruch!
17.11.2004, 06:35	MeinerEiner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir! Habs die ganze Zeit auf nem allgemeinen Weg probiert. Aber so klappts natürlich auch ( und ist auch viel simpler).. X( Da hätt ich aber auch drauf kommen können Was meine 2.te Frage angeht, hab ich mittlerweile einen Ansatz.. muss allerdings noch ein bisserl reifen
17.11.2004, 18:34	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner 2. Frage: Das ist bei jedem Kegel so - nicht nur bei diesen "Matrix-Kegeln". Ist nämlich z ein Punkt aus K, der nicht der Nullvektor ist, dann ist ja t * z aus K für alle t>=0. Also auch $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2}z\in K \;\text{ und }\; y = \frac{3}{2}z\in K\;, \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x + (1 - \frac{1}{2})y = \frac{1}{4}z + \frac{3}{4}z = z\;. \end{eqnarray}$ Also ist z kein Extremalpunkt von K.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »