Schnittgeraden von Ebenenscharen

Neue Frage »

Sven101 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgeraden von Ebenenscharen
Also die Aufgabe lautet:
Zeige, dass alle Ebenen eine gemeinsame Schnittgrade besitzen und gib eine Gleichung an.

: -x+ty+(2t+1)z+4

Jetzt nehme ich zwei verschiedene Ebenen

: -x+ty+(2t+1)z=-4
: -x+ky+(2k+1)z=-4

Gleichsetzen beider Ebenen:

ty+(2t+1)z=ky+(2k+1)z

ty-ky=(2k+1)z-(2t+1)z

y(t-k)=z(2k-2t)

y=2z

jetzt setze ich y=m

y=m
z=1/2m

nun bin ich mir unsicher wie ich an x komme, ich habe nun einfach mal y und z in eingesetzt und erhalte:
x=m(2t+1/2)+4

wäre nun eine mögliche Schnittgerade:

g: (1/ 0,5 / 2t+2)+ s(2/1/4t+6)

Wie ihr seht habe ich beim Schlusse gewissen Unsicherheiten, hoffe ihr könnt mir sagen, ob ich was falsch gemacht haben, denn bei x darf doch kein t mehr vorkommen, denn sonst haben ja nicht alle Ebenen der Schaar die gleiche Grade oder?
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

vor allem ist mir völlig schleierhaft wie du auf die schnittgerade kommst.
das gleichsetzen beider ebenen ist schon mal eine gute idee. aber für t kannst du auch noch explizite werte einsetzen wie z.B t=0 und beim rest den parameter mitnehmen und wählen. dann hast du 3 variable und 2 gleichungssysteme. das reicht für eine schnittgerade.
Sven101 Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich bei den beiden Ebenen die ich habe Zahlen einsetzen?
Aber dann hätte ich, doch nur nachgewiesen, dass diese zwei Ebenen eine Schnittgrade haben, jedoch nicht alle Ebenen einer Ebenenschaar oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr richtig, also muss man das allgemein (mit t, k und t ungleich k) machen. Du musst jedoch zeigen, dass die Schnittgerade von beiden Parametern unabhängig ist.

Bei der Schargleichung fehlt noch rechts: .. = 0, sonst ist es keine Gleichung!

Prinzipiell ging dein Weg auch in die richtige Richtung. Allerdings hast du einen Vorzeichenfehler.

Da , kann durch den Faktor (t - k) gekürzt werden und man erhält



y = m und z = -m/2 musst du jedoch noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen! Daher ist auch x bestimmt (und unabhängig von dem Scharparameter)

-x + tm - mt - m/2 + 4 = 0 (-> mt fällt heraus)

-> x = ...

Damit erstellst du nun die Parameterform der Schnittgeraden.

Klar jetzt?

mY+
Sven101 Auf diesen Beitrag antworten »

ah vielen Dank mythos, deshalb hat sich t nicht weggekürzt.

jetzt kann ich doch für m einfach eine Zahl wählen oder?

also wähle ich für den Stützvektor m=1

-> (3,5/1/-0,5)

jetzt wähle ich noch m=2, um den Richtungsvektor zu erhalten subtrahiere ich dann die beiden vektoren voneinander:

m=2 (3/2/-1)

g: (3,5/1/-0,5) + s*(-0,5/1/-05)

Ist das so richtig?
Primzahl Auf diesen Beitrag antworten »

nein m lässt du als parameter. die gerade bildest du so:


einfach die koordinaten einsetze und den parameter m lassen.

@mYthos
kann es sein das ich mit meinem lösungsansatz auf einen anderen stützvektor komme?
der richtungsvektor stimmt zwar, aber hab irgendwie einen anderen stützvektor raus. verwirrt
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Freilich kann das sein, denn als Stützvektoren kommen unendlich viele in Betracht, sie können zu allen Punkten weisen, die auf der Geraden liegen!

mY+
Sven101 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, vielen dank
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »